Beschränkte Menge

Grundidee und Ordnungsschranken

Eine Menge kann auf verschiedene Arten beschränkt sein. Bei einer Halbordnung ≤ bedeutet „nach oben beschränkt“, dass keines ihrer Elemente über eine bestimmte obere Schranke hinausgeht. „Nach unten beschränkt“ bedeutet entsprechend, dass alle Elemente über einer unteren Schranke liegen. Eine Menge ist beschränkt, wenn beides gilt; fehlt mindestens eine dieser Eigenschaften, heißt sie unbeschränkt.

Sei M eine durch ≤ halbgeordnete Menge und S eine Teilmenge von M. b∈M heißt obere Schranke von S, wenn ∀x∈S: x≤b gilt. a∈M heißt untere Schranke von S, wenn ∀x∈S: a≤x gilt.

Für eine Funktion f:X→M betrachtet man ihre Bildmenge f(X)={f(x) | x∈X}. Die Funktion heißt nach oben beziehungsweise unten beschränkt, wenn ihre Bildmenge eine obere beziehungsweise untere Schranke besitzt. Sie ist beschränkt, wenn sie beides ist.

Beschränktheit durch Abstände

Der Begriff wird auch auf Mengen mit einer Abstandsfunktion d übertragen. Dann wird betrachtet, ob die von d angenommenen Abstände eine endliche obere Schranke besitzen; meist liegen die Abstände in den nichtnegativen reellen Zahlen, sodass die untere Schranke 0 selbstverständlich ist.

Für eine Funktion f:N→X in einen metrischen Raum (X,d) heißt f beschränkt, wenn die Menge der Abstände ihrer Funktionswerte {d(f(n₁),f(n₂)) | n₁,n₂∈N} in ℝ beschränkt ist. Andernfalls heißt sie unbeschränkt.

Reelle, komplexe und endlichdimensionale Räume

Eine Teilmenge S der reellen Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn es ein k∈ℝ mit k≥s für alle s∈S gibt. Sie ist nach unten beschränkt, wenn es analog eine untere Schranke gibt. S ist genau dann beschränkt, wenn S nach oben und nach unten beschränkt ist, also in einem endlichen Intervall liegt.

Äquivalent dazu gilt für S⊆ℝ: S ist genau dann beschränkt, wenn es ein R∈ℝ gibt, sodass |x|<R für alle x∈S gilt. Dann liegt S in der offenen Kugel, also dem offenen Intervall, um 0 mit Radius R. Existieren sie, so heißen die kleinste obere Schranke Supremum und die größte untere Schranke Infimum.

Eine reellwertige Funktion f:X→ℝ ist auf X beschränkt, wenn f(X) eine beschränkte Teilmenge von ℝ ist. Für S⊆ℂ bedeutet Beschränktheit, dass die Beträge aller Elemente eine gemeinsame Schranke R nicht überschreiten; dann gilt S⊆K_R(0)={z∈ℂ: |z|≤R}, der abgeschlossenen Kreisscheibe um 0. Komplexwertige Funktionen sind beschränkt, wenn ihre Bildmenge beschränkt ist.

In ℝⁿ und ℂⁿ ist eine Menge beschränkt, wenn die Norm aller ihrer Elemente durch eine gemeinsame Schranke begrenzt ist. In endlichdimensionalen normierten Räumen hängt dieser Beschränktheitsbegriff nicht von der gewählten Norm ab.

Metrische und topologische Vektorräume

In einem metrischen Raum (M,d) heißt S beschränkt, wenn S in einer abgeschlossenen Kugel mit endlichem Radius liegt. Das heißt: Es gibt ein x∈M und r>0, sodass für alle s∈S gilt: d(x,s)≤r.

In einem topologischen Vektorraum heißt eine Teilmenge S beschränkt, wenn es zu jeder Umgebung U von 0 ein k>0 gibt mit S⊆kU. Dabei ist kU die durch den Faktor k vergrößerte Menge U.

Ist E ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie durch eine Menge ℘ von Halbnormen gegeben ist, dann gilt die gleichwertige Charakterisierung: S⊂E ist genau dann beschränkt, wenn sup_{x∈S}p(x)<∞ für alle Halbnormen p∈℘ gilt. Eine Halbnorm misst dabei die Größe von Vektoren ähnlich wie eine Norm, kann aber auch für von 0 verschiedene Vektoren den Wert 0 haben.

Beispiele und wichtige Erhaltungseigenschaften

Kompakte Mengen sind beschränkt. Die Einheitskugel in einem unendlich-dimensionalen normierten Raum ist dagegen beschränkt, aber nicht kompakt.

Im Raum c₀₀ aller endlichen reellen Folgen ist die Menge S={(x_n)_n∈c₀₀: |x_n|≤1 für alle n} bezüglich der Norm ‖(x_n)n‖∞=sup{n∈ℕ}|x_n| beschränkt, aber nicht bezüglich ‖(x_n)n‖₁=∑{n∈ℕ}|x_n|. Mit der durch die Halbnormen p_m((x_n)_n)=|x_m| definierten lokalkonvexen Topologie ist dagegen S={(x_n)_n∈c₀₀: |x_n|≤n für alle n} beschränkt; bezüglich keiner der beiden genannten Normen ist diese Menge beschränkt.

Beschränktheit bleibt in mehreren Fällen erhalten: Teilmengen beschränkter Mengen, endliche Vereinigungen beschränkter Mengen und der topologische Abschluss einer beschränkten Menge sind beschränkt. Sind S und T beschränkt, dann auch ihre Summe S+T={s+t | s∈S, t∈T}. Stetige lineare Abbildungen zwischen lokalkonvexen Räumen bilden beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab. Ist E lokalkonvex, sind außerdem die konvexe Hülle und die absolutkonvexe Hülle einer beschränkten Menge wieder beschränkt.