Gini-Koeffizient

Kernidee und Bedeutung

Der Gini-Koeffizient, auch Gini-Index, ist ein statistisches Maß für Ungleichverteilungen in einer Gruppe. Er wurde vom italienischen Statistiker Corrado Gini entwickelt. Der Wert liegt zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen 0 und 100 %. Ein Wert von 0 bedeutet vollständige Gleichverteilung; ein Wert von 1 beziehungsweise 100 % bedeutet vollständige Konzentration bei einem einzigen Gruppenmitglied.

Besonders häufig wird der Gini-Koeffizient verwendet, um Einkommens- oder Vermögensverteilungen zu beschreiben. In der Wirtschaftswissenschaft und Geographie dient er zum Beispiel als Maßstab für die Verteilung von Einkommen und Vermögen einzelner Länder und damit als Hilfsmittel zur Klassifizierung von Ländern und ihrem Entwicklungsstand.

Wichtig ist: „Gleichverteilung“ bedeutet hier nicht, dass verschiedene Einkommensklassen gleich häufig vorkommen. Gemeint ist, dass es konkret nur einen Einkommenswert gibt, also eine Verteilung mit einer Varianz von 0. Beim Einkommen in einem Staat hieße das: Das Einkommen jedes Erwachsenen ist gleich hoch.

Lorenz-Kurve und Definition

Der Gini-Koeffizient wird aus der Lorenz-Kurve abgeleitet. Eine Lorenz-Kurve zeigt bei einer geordneten Liste von Teilnehmern, etwa Personen, Haushalten oder Ländern, welchen kumulierten Anteil am Gesamteinkommen diese Teilnehmer zusammen besitzen. Die ideale Lorenz-Kurve bei vollkommener Gleichverteilung ist eine ansteigende Gerade, oft als 45-Grad-Linie dargestellt.

Der Gini-Koeffizient ist das Verhältnis zweier Flächen: der Differenzfläche zwischen der idealen Gleichverteilungslinie und der realen Lorenz-Kurve sowie der gesamten Fläche unter der idealen Kurve. Bei vollständiger Gleichverteilung gibt es keine Differenzfläche, daher ist der Wert 0. Bei vollständiger Ungleichverteilung, wenn nur eine Person das gesamte Einkommen hat, ist die gesamte Fläche Differenzfläche, daher ist der Wert 1.

Für der Größe nach geordnete Merkmalswerte x₁, …, xₙ eines metrisch skalierten Merkmals, zum Beispiel Haushaltseinkommen, ist die Lorenz-Kurve L(j,n) gegeben durch: L(j,n) = Σᵢ₌₁ʲ xᵢ / Σₖ₌₁ⁿ xₖ = Σᵢ₌₁ʲ xᵢ / (nμ) = Σᵢ₌₁ʲ lᵢ. Dabei bezeichnet μ = (Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ) / n das arithmetische Mittel. Für eine reale Verteilung kann der Gini-Ungleichheitskoeffizient berechnet werden als: GUK = (1 / (n²μ)) · Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ(2i − n − 1).

Eine alternative Formulierung nutzt die relative mittlere absolute Differenz. Die mittlere absolute Differenz ist die durchschnittliche Differenz aller Beobachtungspaare in einer Population. Sie wird zum Durchschnittseinkommen ins Verhältnis gesetzt und durch 2 geteilt: GUK = (Σᵢ₌₁ⁿ Σⱼ₌₁ⁿ |xᵢ − xⱼ|) / (2n Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ).

Normierung und normierter Gini-Koeffizient

Die Skala möglicher Werte kann je nach Anwendung von 0 bis 1, von 0 bis 100 oder von 0 bis 10000 reichen. Je nach Anwendungsfall kann der kleinste oder der größte Wert für gleichmäßige Verteilung stehen. Der Wert der absoluten Ungleichheit kann im Allgemeinen nur asymptotisch erreicht werden. Durch Renormierung kann man dieses Problem vermeiden.

Der zunächst definierte Gini-Ungleichheitskoeffizient ist bei endlicher Gruppengröße stets kleiner als 1, selbst wenn nur ein einziges Gruppenmitglied einen positiven Wert besitzt. Beispiel: Wenn n = 2 gilt und nur x₁ > 0, aber x₂ = 0 ist, ergibt sich GUK = 0,5.

Um dies zu vermeiden, kann der normierte Gini-Koeffizient verwendet werden: GUK* = (n / (n − 1)) · GUK. Er lässt sich als Verhältnis von mittlerer absoluter Differenz und der bei gegebenem n und gegebener Gesamtsumme maximal möglichen mittleren Differenz interpretieren.

Berechnung mit Quantilen und Beispiel

Bei der Berechnung anhand von Quantilen wird ein Teil einer Menge A einem Teil einer anderen Menge B zugeordnet. Das kann zum Beispiel Geld (A) auf Menschen (B) oder Stromverbrauch (A) auf Städte (B) sein. Entscheidend ist, dass A homogen und gut aufteilbar ist. Der Besitz von Kfz eignet sich nicht, weil Fahrzeuge weder homogen sind noch gut in kleine Einheiten aufgeteilt werden können.

Allgemein gilt: GUK = (A_g − A_ug) / A_g. Dabei ist A_g die Fläche unter der Lorenz-Kurve einer Gleichverteilung und A_ug die Fläche unter der Lorenz-Kurve der beobachteten Verteilung.

Im Beispiel wird Vermögen (A) auf Bevölkerung (B) verteilt: 50 % von B erhalten 2,5 % von A, 40 % von B erhalten 47,5 % von A, 9 % von B erhalten 27,0 % von A, und 1 % von B erhält 23,0 % von A. Normalisiert ergibt sich unter anderem v₁/b₁ = 0,05, v₂/b₂ = 1,188, v₃/b₃ = 3 und v₄/b₄ = 23. Die Werte müssen so sortiert sein, dass vᵢ/bᵢ ≥ vᵢ₋₁/bᵢ₋₁ gilt; im Beispiel ist die Sortierung bereits passend.

Aus den aufsummierten Anteilen entstehen die Punkte der Lorenz-Kurve: (0,00|0), (0,50|0,025), (0,90|0,5), (0,99|0,77) und (1,00|1). Die Fläche B unter der tatsächlichen Lorenz-Kurve beträgt 0,17725. Da die Fläche A unter der Gleichverteilungslinie in der normierten Darstellung 0,5 beträgt, ergibt sich: GUK = (0,5 − B) / 0,5 = 1 − 2·B = 1 − 0,3545 = 0,6455.

Anwendungsbereiche

In der Wohlfahrtsökonomik beschreibt der Gini-Koeffizient das Maß der Gleichheit oder Ungleichheit bei der Verteilung von Vermögen oder Einkommen. Er ist eine Alternative zum S80/S20-Einkommensquintilverhältnis, das in der EU-Statistik verwendet wird. Außerdem wird er als Konzentrationsrate bei der Messung der Unternehmenskonzentration auf einem Markt eingesetzt.

In der Informationstheorie wird der Gini-Koeffizient als Maß der „Reinheit“ oder „Unreinheit“ von Information verwendet.

Im maschinellen Lernen gibt es ein anderes Maß namens Gini Impurity. Es kann mit dem Gini Index verwechselt werden, erfüllt aber einen anderen Zweck. Gini Impurity bewertet in Entscheidungsbäumen die Qualität einer Trennung: Je niedriger das Maß ist, desto reiner sind die entstandenen Teilmengen in Bezug auf die Zielvariable. Der sozioökonomische Gini Index misst dagegen die Verteilung von Einkommen oder Vermögen innerhalb einer Bevölkerung.

Im Bankwesen dient der Gini-Koeffizient als Maß dafür, wie gut ein Ratingsystem gute von schlechten Kunden trennen kann. Diese Fähigkeit heißt Trennschärfe.

Grenzen und Vergleichsfehler

Der Gini-Koeffizient reduziert einen komplexen Datensatz auf eine einzige Kennzahl. Das ist nützlich, kann aber zu Fehlinterpretationen führen, wenn man vergisst, wie die Kennzahl entstanden ist und welche Informationen dabei verloren gehen.

Zu fast jeder Lorenz-Kurve gibt es mindestens eine andere Lorenz-Kurve mit exakt demselben Gini-Wert. Diese kann durch Spiegelung an der Linie durch die Punkte (0|1) und (1|0) entstehen. So kann die Verteilung 10 %/90 % auf 50 %/50 % denselben Gini-Koeffizienten haben wie die Verteilung 50 %/50 % auf 90 %/10 % der Merkmalsträger. Beide ergeben im Artikel einen gemeinsamen Gini-Koeffizienten von 0,4. Außer bei absoluter Gleichverteilung oder absoluter Ungleichverteilung gibt es sogar unendlich viele mögliche Lorenz-Kurven zu einem Gini-Koeffizienten.

Vergleiche von Gini-Koeffizienten müssen kritisch geprüft werden. Sie sind nur sinnvoll, wenn die Koeffizienten einheitlich berechnet wurden. Besonders wichtig ist die Granularität der Eingangsdaten. Ein mit wenigen Quantilen berechneter Gini-Koeffizient zeigt in der Regel eine etwas geringere Ungleichverteilung an als ein mit mehr Quantilen berechneter Koeffizient, weil bei höherer Messauflösung auch Ungleichheiten innerhalb der gröberen Bereiche erfasst werden. Einfach gesagt: Eine höhere Auflösung der Daten liefert fast immer einen höheren Gini-Koeffizienten.