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Totale Varianz
Ein weiteres Maß für die Gesamtstreuung eines multivariaten Datensatzes ist die verallgemeinerte Varianz.
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Grundidee
Die totale Varianz ist in der multivariaten Statistik ein Maß für die Gesamtstreuung eines mehrdimensionalen Datensatzes. Ein solcher Datensatz enthält p Variablen X_j. Die totale Varianz beschreibt, wie stark die Beobachtungen insgesamt um den Mittelpunkt der Daten streuen.
Sie darf nicht mit der ebenfalls so genannten totalen Varianz verwechselt werden, die sich aus der totalen Quadratsumme berechnet. Ein weiteres Maß für die Gesamtstreuung eines multivariaten Datensatzes ist die verallgemeinerte Varianz.
Definition
Die totale Varianz ist definiert als
T = \sum_{j=1}^{p} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x}j)^2 = \frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}(x_{ij}-\overline{x}_j)^2.
Dabei ist x_{ij} die i-te Beobachtung in der Variable X_j. \overline{x}j ist das arithmetische Mittel der Beobachtungen der Variablen X_j. Die innere Summe \sum{j=1}^{p}(x_{ij}-\overline{x}j)^2 ist die quadrierte euklidische Distanz d^2(x_i, \overline{x}) zwischen der multivariaten Beobachtung x_i = (x{i1}, ..., x_{ip}) und dem Mittelpunkt der Daten \overline{x} = (\overline{x}_1, ..., \overline{x}_p).
Anschaulich ist die totale Varianz also der mittlere quadrierte Abstand aller Beobachtungen vom Datenmittelpunkt.
Bezug zur empirischen Varianz
Die totale Varianz erweitert die empirische Varianz s^2 einer einzelnen Variablen auf den multivariaten Fall. Für eine Variable gilt
s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2.
Auch hier kann (x_i-\overline{x})^2 als quadrierte Distanz d^2(x_i, \overline{x}) verstanden werden. Bei mehreren Variablen wird diese Idee auf den Abstand eines ganzen Beobachtungsvektors vom Mittelpunkt des Datensatzes übertragen.
Rotation und Kovarianzmatrix
Eine wichtige Eigenschaft der totalen Varianz ist ihre Invarianz unter einer Rotation des Datensatzes. Das bedeutet: Wird der Datensatz rotiert, bleibt die totale Varianz gleich. Der Grund ist, dass sie den mittleren Abstand der Beobachtungen zum Datensatzmittelpunkt misst, und dieser Abstand sich durch eine Rotation nicht ändert.
Die totale Varianz hängt eng mit der Kovarianzmatrix der Daten zusammen. Die Kovarianzmatrix kann ebenfalls als Verallgemeinerung der univariaten Varianz verstanden werden, hängt aber von der gewählten Basis ab. Die totale Varianz ist die Spur dieser Matrix, also die Summe ihrer Diagonaleinträge. Gleichzeitig ist sie die Summe der Eigenwerte der Kovarianzmatrix.
Verwendung bei Datenreduktion
Der Anteil der erklärten totalen Varianz wird in der Hauptkomponentenanalyse, der Faktoranalyse und der Clusteranalyse verwendet. Er dient als Maß dafür, ob eine Datenreduktion den multivariaten Datensatz gut widerspiegelt.
In der Clusteranalyse spricht man bei der Verwendung dieses Maßes von interner Validierung. Das heißt, die Bewertung kommt ohne zusätzliche externe Information aus.
