Ungleichverteilungsmaß

Grundidee und Einordnung

Ein Ungleichverteilungsmaß beschreibt, wie stark die Verteilung einer Größe von einer Gleichverteilung abweicht. In den Sozialwissenschaften geht es meist um Ressourcen wie Einkommen oder Vermögen und um die Anzahl der Menschen, die über bestimmte Einkommens- oder Vermögensanteile verfügen. Die Maße zeigen somit, in welchem Grad Ressourcen Menschen ungleich zugeordnet sind.

Grundlage der Berechnung ist eine aufsteigend sortierte Liste der untersuchten Verteilungsgröße. Eine anschauliche Darstellung von Ungleichverteilung ist Pen’s Parade. Die wichtigsten Maße unterscheiden sich darin, welches Verteilungsmodell oder welche mathematische Grundlage sie verwenden.

In den Sozialwissenschaften gibt es etwa 50 Ungleichverteilungsmaße. Viele sind miteinander verwandt oder wurden parallel entwickelt. In der gegenwärtigen Forschung werden zunehmend Entropiemaße wie der Theil-Index verwendet.

Hoover-Ungleichverteilung

Die Hoover-Ungleichverteilung gilt als einfachstes Ungleichverteilungsmaß. Sie beschreibt, welcher Anteil einer ungleich verteilten Ressource bewegt beziehungsweise umverteilt werden müsste, um eine völlige Gleichverteilung zu erreichen. Im Englischen wird sie unter anderem als „Robin-Hood-Index“ bezeichnet.

Der Wert beträgt 0 oder 0 % bei völliger Gleichverteilung und 1 oder 100 % bei maximaler Ungleichverteilung. Die Hoover-Gleichverteilung ist 1 beziehungsweise 100 % abzüglich der Hoover-Ungleichverteilung. Multipliziert man das Volkseinkommen mit der Hoover-Gleichverteilung, erhält man eine Wohlfahrtsfunktion. Sie entspricht dem Anteil des Volkseinkommens, der unangetastet bliebe, wenn das Einkommen mit vollständiger Gleichverteilung umverteilt würde.

Wird das Volkseinkommen mit der Hoover-Ungleichverteilung multipliziert oder die Wohlfahrtsfunktion vom Volkseinkommen abgezogen, ergibt sich der Anteil, der zur vollständigen Gleichverteilung mit minimalem Aufwand bewegt werden müsste. Dafür wären perfekte Planung und vollständige Informiertheit erforderlich.

Ein Beispiel betrifft die Steuerprogression im Jahr 2001: Die Hoover-Ungleichverteilung der Bruttoeinkommen gegenüber den Steuerzahlern betrug 0,332. Bei einer Einheitssteuer ohne Freibetrag hätte auch die Ungleichverteilung der Nettoeinkommen 0,332 betragen. Tatsächlich lag sie bei 0,300. Durch die Steuerprogression wurden demnach 3,2 % des Nettoeinkommens „von oben nach unten“ umverteilt.

Für Gesellschaften, die in zwei Quantile geteilt sind und bei denen ein Anteil a Euro einem Anteil b Menschen sowie ein Anteil b Euro einem Anteil a Menschen zugeordnet ist, gilt a + b = 1. Für diese spezielle Aufteilung gilt T = 2H artanh(H), wobei T der Theil-Index und H die Hoover-Ungleichverteilung ist. Beim Beispiel des „80:20-Pareto-Prinzips“ mit A = 0,8 und B = 0,2 ergeben sich H = 0,6 und T = 0,832. Für solche partitionierten Gesellschaften sind der Theil-Index und der symmetrierte Theil-Index gleich; auch Gini-Koeffizient und Hoover-Ungleichverteilung nehmen denselben Verlauf.

Theil-Index

Der Theil-Index ist ein aus der Informationstheorie abgeleitetes Ungleichverteilungsmaß und gehört zur Familie der Entropiemaße. Die gelegentliche Bezeichnung „Theil-Entropie“ ist eine Redundanz: Der Theil-Index ist die Differenz zwischen der bei Gleichverteilung möglichen maximalen Entropie und der aktuellen Entropie einer Ungleichverteilung.

Der Index beträgt 0 bei völliger Gleichverteilung. Er beträgt 1 bei einer Verteilung, bei der 17,6 % der Ressourcenbesitzer über 82,4 % der Gesamtressourcen und umgekehrt 82,4 % der Ressourcenbesitzer über 17,6 % der Ressourcen verfügen. Diese Verteilung liegt nahe an der 80:20-Verteilung, die als „Pareto-Prinzip“ bekannt ist. Bei einer höheren Ungleichverteilung ist der Theil-Index größer als 1.

Im Unterschied zur Hoover-Ungleichverteilung werden nicht nur Ungleichheiten zusammengefasst. Die einzelnen Disparitäten werden zusätzlich nach ihrem Informationsgehalt gewichtet. Der Theil-Index beschreibt dadurch neben dem Anteil der umzuverteilenden Ressourcen auch die Aufmerksamkeit, die eine Ungleichverteilung hervorruft.

Es gibt zwei Formen:

• Der Theil-L-Index beschreibt die Verteilung von Ressourcen zu Menschen.
• Der Theil-T-Index beschreibt die Verteilung von Menschen zu Ressourcen.

Der Mittelwert beider Indizes heißt symmetrierter Theil-Index und ist strukturell der einfachen Hoover-Ungleichverteilung sehr ähnlich. In Berechnungen werden häufig beide Theil-Indizes angegeben, manchmal zusätzlich zum Gini-Koeffizienten.

Die Normierung der Theil-Indizes auf den Bereich von 0 bis 1 beziehungsweise 0 % bis 100 % erfolgt mit 1 − e⁻ᵀ. e⁻ᵀᴸ ist die Theil-L-Gleichverteilung. Multipliziert man das Volkseinkommen mit ihr, ergibt sich eine Wohlfahrtsfunktion. Eine Pro-Kopf-Wohlfahrtsfunktion kann als „empfundenes Durchschnittseinkommen“ interpretiert und als Alternative zum Median verwendet werden.

Der Theil-L-Index kann außerdem ein theoretisches Umverteilungsvolumen angeben. Dieses entspricht dem Anteil des Volkseinkommens, der bewegt würde, wenn vollständige Gleichverteilung durch einen ausschließlich zufallsbestimmten Verteilungsprozess erreicht werden sollte. Das Modell ähnelt dem freien Markt: Das System müsste vollständig von seiner Umwelt abgeschlossen und sich selbst überlassen werden. Wenn stattdessen keine Einkommen, sondern Einkommensbezieher bewegt werden, ergibt sich deren Zahl als Produkt aus Theil-T-Index und Anzahl der Einkommensbezieher.

Bei hohen Ungleichheiten ist das mit dem Theil-Index berechnete Umverteilungsvolumen größer als das mit der Hoover-Ungleichverteilung berechnete. Bei kleinen Ungleichheiten liegt es zunächst darunter; im theoretischen Ausgleichsprozess nähern sich die neuen Theil-Werte in der Nähe von 0 wieder den Hoover-Werten an.

Reale Volkswirtschaften verbinden zufallsbestimmte und geplante Verteilung. In einem theoretisch geschlossenen Wirtschaftssystem führt dies zum Ausgleich, in einem offenen System kann die Ungleichverteilung durch zeitlich oder örtlich ungleichen Zugriff auf Ressourcen der Umwelt weiter steigen. Deshalb sind sowohl Hoover-Ungleichverteilung als auch Theil-Index relevant. In den meisten Volkswirtschaften ist ihre Differenz kleiner als 0,1.

Gini-Koeffizient

Der Gini-Koeffizient ist das in den Sozialwissenschaften am häufigsten verwendete Ungleichverteilungsmaß. Er ist eine Auswertung der Lorenzkurve und dadurch anschaulicher als viele andere Maße. Sein Wert beträgt 0 oder 0 % bei völliger Gleichverteilung und 1 oder 100 % bei maximaler Ungleichverteilung.

Die Berechnung lässt sich geometrisch darstellen. Die sozialwissenschaftliche Bedeutung eines bestimmten Gini-Wertes lässt sich jedoch nicht allein geometrisch erklären. Durch seine langjährige und häufige Verwendung hat sich ein empirisches Verständnis dafür entwickelt, welche Bedeutung bestimmte Gini-Koeffizienten haben. Außerdem untersuchen empirische Studien den Zusammenhang zwischen subjektiven Bewertungen von Ungleichverteilungen und den zugehörigen Ungleichheitsmaßen. Der Gini-Koeffizient wird insbesondere dann verwendet, wenn Forschungen fortgeführt werden, in denen bereits mit ihm gearbeitet wurde.

Die Sozialstatistik der Europäischen Union arbeitet mit dem S80/S20-Einkommensquintilverhältnis.

Palma-Index und weitere Maße

Der Palma-Index gibt das Verhältnis zwischen dem Einkommensanteil des obersten Dezils und dem Einkommensanteil der unteren vier Dezile an. Ein Dezil ist eine von zehn gleich großen Bevölkerungsgruppen, geordnet vom ärmsten bis zum reichsten Zehntel der Bevölkerung.

Zu den weiteren in der Wikipedia behandelten Ungleichverteilungs- und Konzentrationsmaßen gehören das Atkinson-Maß nach Anthony Atkinson, der Kakwani-Index nach Nanak Chand Kakwani, der Kolm-Index nach Serge-Christophe Kolm, das Konzentrationsmaß von Herfindahl nach Orris Clemens Herfindahl, der Rosenbluth-Index nach Gideon Rosenbluth und der Lerner-Index nach Abba P. Lerner.