Fourierreihe

Grundidee und Bedeutung

Eine Fourierreihe stellt eine periodische Funktion als unendliche Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen beziehungsweise komplexen Exponentialfunktionen dar. Dadurch lässt sich ein periodisches Signal in seine Grundfrequenz und deren ganzzahlige Vielfache, die Harmonischen oder Oberschwingungen, zerlegen. Die Fourier-Koeffizienten geben an, wie stark die einzelnen Frequenzanteile vertreten sind. Diese Methode gehört zur Fourier-Analyse und ist besonders für die Untersuchung von Schwingungen und Signalen wichtig.

Die verwendeten Basisfunktionen bilden eine Orthonormalbasis: Sie sind bezüglich eines geeigneten inneren Produkts paarweise orthogonal und jeweils normiert. Im Rahmen der Hilbertraumtheorie nennt man auch die Entwicklung nach einem beliebigen vollständigen Orthonormalsystem eine Fourierreihe. Die Fourier-Transformation verallgemeinert das Verfahren auf nichtperiodische Funktionen.

Fourier behauptete 1822 in „Théorie analytique de la chaleur“, solche Reihenentwicklungen existierten für alle Funktionen. Dirichlet bewies 1829 einen entsprechenden Satz für Lipschitz-stetige Funktionen. Du Bois-Reymond fand 1876 dagegen eine stetige Funktion mit divergierender Fourierreihe. Diese Ergebnisse zeigen, dass bei Fourierreihen immer angegeben werden muss, in welchem Sinn die Reihe konvergiert.

Darstellungsformen und Koeffizienten

Für eine T-periodische Funktion lautet die komplexe Exponentialform

f(t) = ∑_{k∈ℤ} c_k exp(2πikt/T).

Die Fourier-Koeffizienten werden über eine Periode berechnet:

c_k = (1/T) ∫_{−T/2}^{T/2} f(t) exp(−2πikt/T) dt.

Die Folge (c_k){k∈ℤ} heißt bei periodischen Signalen Frequenzspektrum, die Folge (|c_k|){k∈ℤ} Amplitudenspektrum. Beide sind diskrete Spektren oder Linienspektren. Für reellwertige Funktionen gilt c_{−k} = overline(c_k); die Koeffizienten zu negativen Frequenzen ergeben sich also durch komplexe Konjugation.

Für reellwertige Funktionen ist oft die Sinus-Kosinus-Form geeigneter:

f(t) ∼ a₀/2 + ∑_{k=1}^{∞}[a_k cos(2πkt/T) + b_k sin(2πkt/T)].

Dabei gelten a_k = c_k + c_{−k} für k ≥ 0 und b_k = i(c_k − c_{−k}) für k ≥ 1. Direkt erhält man

a_k = (2/T) ∫_{−T/2}^{T/2} f(t) cos(2πkt/T) dt,

b_k = (2/T) ∫_{−T/2}^{T/2} f(t) sin(2πkt/T) dt.

Eine dritte Möglichkeit ist die Amplituden-Phasen-Form

f(t) ∼ a₀/2 + ∑_{k=1}^{∞} A_k cos(2πkt/T − φ_k),

wobei A_k = √(a_k²+b_k²). Für φ_k ∈ (−π,π] gilt φ_k = arccos(a_k/A_k), falls b_k ≤ 0, und φ_k = −arccos(a_k/A_k), falls b_k > 0.

Mathematische Grundlage

Für 2π-periodische, quadratintegrierbare Funktionen betrachtet man den Raum L²(ℝ/2π). Zwei Funktionen, die sich nur auf einer Menge vom Maß null unterscheiden, werden dabei als dasselbe Element behandelt. Das innere Produkt ist

⟨f,g⟩ = (1/2π) ∫_{−π}^{π} f(t) overline(g(t)) dt.

Mit diesem inneren Produkt ist L²(ℝ/2π) ein vollständiger Hilbertraum. Die Funktionen e_k(t) = exp(ikt) mit k ∈ ℤ bilden ein Orthonormalsystem, denn

⟨e_k,e_l⟩ = 0 für k ≠ l und ⟨e_k,e_k⟩ = 1.

Formal schreibt man die Fourierreihe einer Funktion f ∈ L²(ℝ/2π) als

f(t) = ∑_{k∈ℤ} c_k e_k(t).

Aus der Orthonormalität folgt

c_k = ⟨f,e_k⟩ = (1/2π) ∫{−π}^{π} f(t)e{−k}(t) dt.

Die Zuordnung f ↦ f̂ mit f̂(k) = c_k heißt Fourier-Transformation für 2π-periodische Funktionen. Sie ist linear. Die inverse Fourier-Transformation setzt die Koeffizienten wieder zur Reihe ∑{k∈ℤ}c_ke_k zusammen. Die Koeffizienten erfüllen für L²-Funktionen c_k → 0 und c{−k} → 0. Die formale Reihe muss jedoch nicht an jedem Punkt gegen f(t) konvergieren; Art und Voraussetzungen der Konvergenz müssen gesondert untersucht werden.

Verallgemeinerungen

Eine T-periodische Funktion kann durch eine Skalierung des Arguments auf den 2π-periodischen Fall zurückgeführt werden. Für L²(ℝ/T) verwendet man das innere Produkt

⟨f,g⟩ = (1/T) ∫₀ᵀ f(t)overline(g(t)) dt = (1/T) ∫_{−T/2}^{T/2} f(t)overline(g(t)) dt

und die Basisfunktionen e_k(t) = exp(2πikt/T). Wieder gilt c_k = ⟨f,e_k⟩.

Fourierreihen beschreiben nur periodische Funktionen und besitzen ein diskretes Frequenzspektrum. Für nichtperiodische Funktionen lässt man T gegen unendlich gehen. Die Frequenzabstände werden dadurch beliebig klein, und aus dem Amplitudendichtespektrum entsteht die Fourier-Transformation

𝓕(f)(ω) = ∫_{−∞}^{∞} f(t)e^{−iωt} dt.

Noch allgemeiner gilt: Ist (H,⟨·,·⟩_H) ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis S, so lässt sich jedes f ∈ H durch

f = ∑_{u∈S} ⟨f,u⟩_H u

darstellen. Auch dies wird verallgemeinerte Fourierreihe genannt. Bei anderen inneren Produkten ändern sich die orthogonalen Basisvektoren, die Koeffizienten und entsprechend Eigenschaften der Transformation. Die harmonische Analyse untersucht weitere Verallgemeinerungen mit Symmetrien, darunter die Pontrjagin-Dualität für abelsche lokalkompakte topologische Gruppen und den Satz von Peter-Weyl für kompakte topologische Gruppen.

Typische Beispiele

Eine Rechteckschwingung mit Höhe h ist durch f(t)=h für 0≤t<T/2 und f(t)=−h für T/2≤t<T sowie f(t+T)=f(t) definiert. Ihre Fourierreihe lautet

f(t) = (4h/π)∑_{k=1}^{∞} sin((2k−1)ωt)/(2k−1).

Sie enthält nur ungerade Harmonische; deren Amplituden nehmen mit wachsender Frequenz ab. Allgemein besitzt eine periodische Schwingung mit Periode T nur ungeradzahlige Oberschwingungen, wenn f(t+T/2)=−f(t). Je mehr Harmonische addiert werden, desto besser nähert sich die Summe dem Rechtecksignal.

Für einen steigenden, punktsymmetrischen Sägezahnpuls gilt

f(t) = −(2h/π)∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} sin(kωt)/k.

Hier treten alle ganzzahligen Harmonischen mit alternierenden Vorzeichen auf.

Beim Dreieckpuls kommen nur ungerade Harmonische vor, deren Koeffizienten quadratisch abfallen. Eine mögliche Form ist

f(t) = −(8h/π²)∑_{k=1}^{∞} cos((2k−1)ωt)/(2k−1)².

Für den gleichgerichteten Sinuspuls lautet die Entwicklung

h|sin(ωt)| = 2h/π − (4h/π)∑_{k=1}^{∞} cos(2kωt)/((2k)²−1).

Konvergenz und Gibbssches Phänomen

Eine Fourierreihe kann absolut, gleichmäßig, punktweise, fast überall oder bezüglich der L²-Norm konvergieren. Diese Aussagen sind verschieden stark und dürfen nicht gleichgesetzt werden.

Wichtige Bedingungen sind:

• Ist f Hölder-stetig mit Ordnung α > 1/2, konvergiert ihre Fourierreihe absolut und damit gleichmäßig überall gegen f.

• Ist f stetig und gilt ∑_{k=−∞}^{∞}|c_k| < ∞, so konvergiert die Reihe gleichmäßig gegen f.

• Ist f stetig und abschnittsweise stetig differenzierbar, konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig gegen f.

• Hat f über eine Periode beschränkte totale Variation, konvergiert die Reihe an jeder Stelle x gegen ½(f(x+)+f(x−)). An Stetigkeitsstellen ist dieser Wert f(x); auf jedem abgeschlossenen Intervall, auf dem f stetig ist, ist die Konvergenz gleichmäßig.

• Gehört f auf einer Periode [c,c+T] zu L²([c,c+T]), konvergiert die Fourierreihe bezüglich der L²-Norm gegen f.

Der Satz von Dirichlet besagt insbesondere: Für eine stetig differenzierbare, 2π-periodische Funktion konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig gegen die Funktion. Nach dem Satz von Carleson konvergiert die Fourierreihe jeder Funktion aus L²([−π,π]) fast überall. Der Satz von Carleson–Hunt erweitert dies auf Lᵖ für 1<p<∞; für p=1 ist die Aussage falsch. Der Satz von Fejér betrifft die arithmetischen Mittel der Partialsummen s_n(f): Für eine stetige, 2π-periodische Funktion konvergiert (1/(m+1))∑_{n=0}^{m}s_n(f) gleichmäßig gegen f.

An Sprungstellen entsteht das Gibbssche Phänomen: Die Partialsummen zeigen Über- und Unterschwinger von etwa 9 % der vollen Sprunghöhe. In der Beschreibung relativ zur Grundschwingung entspricht dies bei einem Rechtecksignal etwa 18 % des vollen Sprungs. Mit mehr Summanden wird der betroffene Bereich schmaler, die maximale Überschwingung verschwindet aber nicht. Ursache ist, dass zwar Konvergenz in der L²-Norm vorliegen kann, die Fehler |f_n−f| jedoch im Allgemeinen nicht gleichmäßig gegen null konvergieren.