Tangenssatz

Bedeutung und Grundform

Der Tangenssatz, auch Tangentensatz genannt, ist ein Satz der ebenen Trigonometrie. Er verknüpft die drei Seiten eines Dreiecks mit dem Tangens der halben Summe beziehungsweise der halben Differenz zweier Winkel.

Für die Seiten a, b und c sowie die jeweils gegenüberliegenden Winkel α, β und γ gilt:

(b + c)/(b − c) = tan((β + γ)/2) / tan((β − γ)/2).

Da in jedem ebenen Dreieck α + β + γ = 180° gilt, ist

tan((β + γ)/2) = tan((180° − α)/2) = tan(90° − α/2) = cot(α/2).

Dabei bezeichnet cot den Kotangens; es gilt cot(x) = 1/tan(x). Deshalb lässt sich der Tangenssatz auch so schreiben:

(b + c)/(b − c) = cot(α/2) / tan((β − γ)/2).

Zyklische Varianten und Vorzeichen

Durch zyklische Vertauschung der Seiten und der gegenüberliegenden Winkel entstehen die entsprechenden Formeln für die anderen Seitenpaare:

(a + b)/(a − b) = tan((α + β)/2) / tan((α − β)/2) = cot(γ/2) / tan((α − β)/2),

(c + a)/(c − a) = tan((γ + α)/2) / tan((γ − α)/2) = cot(β/2) / tan((γ − α)/2).

Wegen tan(−x) = −tan(x) bleiben die Gleichungen gültig, wenn zugleich die beiden Seiten und ihre zugehörigen Winkel vertauscht werden. Beispielsweise gilt daher auch:

(a + c)/(a − c) = tan((α + γ)/2) / tan((α − γ)/2) = cot(β/2) / tan((α − γ)/2).

Herleitungen des Tangenssatzes

Eine Herleitung verwendet den Sinussatz. Aus b/c = sin(β)/sin(γ) folgt zunächst:

(b + c)/(b − c) = (sin(β) + sin(γ))/(sin(β) − sin(γ)).

Für Summe und Differenz der Sinuswerte gelten die aus den Additionstheoremen ableitbaren Identitäten:

sin(β) + sin(γ) = 2 · sin((β + γ)/2) · cos((β − γ)/2),

sin(β) − sin(γ) = 2 · cos((β + γ)/2) · sin((β − γ)/2).

Nach dem Einsetzen und Kürzen ergibt sich:

(b + c)/(b − c) = tan((β + γ)/2) · cot((β − γ)/2) = tan((β + γ)/2) / tan((β − γ)/2).

Eine zweite Herleitung beruht auf den Mollweideschen Formeln. Zusammen mit α + β + γ = 180° und tan((β + γ)/2) = cot(α/2) erhält man:

(b + c)/(b − c) = ((b + c)/a) · (a/(b − c)) = [cos((β − γ)/2)/sin(α/2)] · [cos(α/2)/sin((β − γ)/2)] = cot((β − γ)/2) · cot(α/2) = tan((β + γ)/2) / tan((β − γ)/2).

Verallgemeinerung auf Sehnenvierecke

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Für ein Sehnenviereck ABCD seien die Seitenlängen

a = |AB|, b = |BC|, c = |CD| und d = |DA|

sowie die Winkel α = ∠DAB und β = ∠ABC gegeben. Dann gilt die Verallgemeinerung:

((a + c) · (b + d))/((a − c) · (b − d)) = tan((α + β)/2) / tan((α − β)/2).

Für c = 0 geht diese Gleichung in den Tangenssatz für Dreiecke über.

Tangenssatz auf der Kugel

Ein Kugeldreieck liegt auf einer Kugeloberfläche; seine Seiten a, b und c sind Kreisbögen. Die gegenüberliegenden Winkel werden wieder mit α, β und γ bezeichnet. Anders als beim ebenen Dreieck stehen hier die Tangenswerte der halben Summe und Differenz der Seiten auf der linken Seite:

tan((a + b)/2) / tan((a − b)/2) = tan((α + β)/2) / tan((α − β)/2),

tan((b + c)/2) / tan((b − c)/2) = tan((β + γ)/2) / tan((β − γ)/2),

tan((c + a)/2) / tan((c − a)/2) = tan((γ + α)/2) / tan((γ − α)/2).