Elastizitätsmodul

Grundidee und Definition

Der Elastizitätsmodul, kurz E-Modul, ist ein Materialkennwert der Werkstofftechnik. Weitere Bezeichnungen sind Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul und Youngscher Modul. Er beschreibt, wie stark sich ein Material unter einer Kraft elastisch, also nach Entlastung rückgängig, verformt. Ein hoher E-Modul bedeutet einen hohen Widerstand gegen elastische Verformung: Stahl verformt sich daher weniger als Gummi.

Bei linear-elastischem Verhalten ist der E-Modul die Proportionalitätskonstante zwischen mechanischer Spannung und Dehnung. Im Spannungs-Dehnungs-Diagramm entspricht er der Steigung des linear-elastischen Bereichs, der auch Hookescher Bereich heißt. Für eine einachsige Belastung gilt:

E = σ/ε = const.

Die Normalspannung σ = F/A ist die Kraft F geteilt durch die belastete Querschnittsfläche A. Die Dehnung ε = Δl/l₀ ist die Längenänderung Δl = l − l₀ bezogen auf die ursprüngliche Länge l₀. Der E-Modul hat deshalb die Einheit einer mechanischen Spannung: 1 N/mm² = 1 MPa beziehungsweise in SI-Einheiten 1 N/m² = 1 Pa. Seine SI-Dimension ist M·L⁻¹·T⁻²; das gebräuchliche Formelzeichen lautet E.

Der linear-elastische Dehnungsbereich ist bei vielen Metallen und Polymeren gegenüber der gesamten möglichen Verformung aus elastischer Dehnung und Bruchdehnung klein. Außerdem kann der E-Modul von Temperatur, Porosität und Dehnung abhängen. Das allgemeine elastische Verhalten eines Festkörpers wird durch den Elastizitätstensor beschrieben. Je nach Anisotropie, also Richtungsabhängigkeit des Materials, benötigt man 2 bis 21 unabhängige Elastizitätskonstanten.

Zusammenhang mit Federkonstante und Steifigkeit

Für einen geraden, linear-elastischen Stab ist die Federkonstante D das Verhältnis von Normalkraft F zu Längenänderung Δl:

D = F/Δl.

Werden Kraft und Längenänderung auf Querschnittsfläche A beziehungsweise Ausgangslänge l₀ normiert, erhält man den von der Bauteilgeometrie unabhängigen Materialkennwert:

(F/A)/(Δl/l₀) = σ/ε = E.

Der E-Modul darf nicht mit der Steifigkeit eines Bauteils verwechselt werden. In der Technischen Mechanik bezeichnet Steifigkeit den Widerstand eines Körpers oder einer Baugruppe gegen elastische Verformung. Sie hängt sowohl vom Material als auch von Geometrie und Konstruktion ab. Beim Zugversuch ist die Zug- oder Dehnsteifigkeit einer Probe

Sₜ = E·A.

Ihre Einheit entspricht der einer Kraft. Wenn „Steifigkeit“ dagegen als Werkstoffeigenschaft gemeint ist, geht es um das Verformungsverhalten im elastischen Bereich; dann dienen geometrieunabhängige Kennwerte wie E-Modul und Schubmodul zur Beschreibung.

Typische Werte und Werkstoffeigenschaften

Typische E-Module bei 20 °C zeigen die großen Unterschiede zwischen Werkstoffen:

• Metalle: Baustahl 210 GPa, Edelstahl 1.4301 200 GPa, Beryllium 303 GPa, Gusseisen 90…145 GPa, Kupfer 100…130 GPa, Messing 78…123 GPa, Nickel 195…205 GPa, Aluminium 70 GPa, Magnesium 44 GPa, Blei 19 GPa, Gold 78 GPa, Silicium (polykristallin) 160 GPa, Titan 110 GPa, Wolfram 405 GPa und Zink 83 GPa.

• Nichtmetalle: PVC 1,0…3,5 GPa, Glas 40…90 GPa, Beton 20…40 GPa, Keramik 160…440 GPa, Holz in Längsrichtung parallel zu den Fasern 10…20 GPa, Polypropylen 1,3…1,8 GPa, Kautschuk bis 0,05 GPa, Graphen und Diamant jeweils etwa 1000 GPa, Marmor 72 GPa, Eis bei −4 °C 10 GPa, Hartgummi 5 GPa und Klinker 27 GPa.

Bei Metallen besteht kein strenger Zusammenhang zwischen E-Modul und Härte oder den Festigkeitskennwerten Streckgrenze Rₑ und Zugfestigkeit Rₘ. Deshalb können etwa einfacher Baustahl und hochfester Sonderstahl ähnliche E-Module besitzen, obwohl ihre Festigkeit verschieden ist. Der E-Modul eines Metalls steigt mit seiner Schmelztemperatur. Bei vergleichbarer Schmelztemperatur besitzen kubisch raumzentrierte Metalle einen höheren E-Modul als kubisch flächenzentrierte. Auf atomarer Ebene hängt dies mit der Bindungsstärke der Atome im Kristallgitter zusammen.

Elastische Konstanten und ihre Umrechnung

Neben E werden der Schubmodul G, die Poissonzahl ν, der Kompressionsmodul K, die erste Lamé-Konstante λ und der Longitudinalmodul M verwendet. Der Schubmodul beschreibt die Reaktion auf Schubverformung, die Poissonzahl die Quer- im Verhältnis zur Längsdehnung und der Kompressionsmodul den Widerstand gegen gleichmäßige Volumenänderung. Für linear-elastische, isotrope, also in allen Richtungen gleichartige Materialien, gilt insbesondere:

E = 2(1 + ν)G = 3(1 − 2ν)K = 9KG/(3K + G).

Daraus folgen beispielsweise G = E/[2(1 + ν)], K = E/[3(1 − 2ν)] und ν = E/(2G) − 1. Außerdem gelten λ = Eν/[(1 + ν)(1 − 2ν)] und M = E(1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)]. Weitere gleichwertige Beziehungen sind K = λ + 2G/3, E = G(3λ + 2G)/(λ + G), ν = λ/[2(λ + G)] und M = λ + 2G = K + 4G/3.

Für nicht-auxetische isotrope Materialien liegt ν zwischen 0 bei maximaler Volumenänderung und 0,5 bei Volumenkonstanz. Daher beträgt G zwischen 33 und 50 Prozent des E-Moduls. Bei sehr weichen Materialien wie Gelen oder Polymerschmelzen ist eine einachsige Zug- oder Druckprüfung schwierig, weil sie sich bereits unter ihrem Eigengewicht verformen können. Deshalb bestimmt man meist den Schubmodul, häufig mit einer dynamisch-mechanischen Analyse.

Hookesches Gesetz und mehrachsige Belastung

Die skalare Form des Hookeschen Gesetzes

σ = E·ε

gilt nur für querdehnungsfreie Materialien oder für einen einachsigen Spannungszustand, etwa beim einachsigen Zug. Bei mehrachsiger Belastung muss die allgemeine, von der elastischen Anisotropie abhängige Form verwendet werden. Für eine dünne isotrope Platte im ebenen Spannungszustand werden die Spannungen σₓₓ, σᵧᵧ und σₓᵧ über eine Matrix aus E und ν mit den Dehnungen εₓₓ, εᵧᵧ und 2εₓᵧ verknüpft; der gemeinsame Faktor ist E/(1 − ν²). Die Dehnung in Dickenrichtung lautet:

εzz = −(ν/E)(σxx + σyy).

Beim Übergang vom einachsigen zum zweiachsigen Spannungszustand beeinflusst die Querkontraktion den gemessenen Modul. Für homogene, isotrope und nicht-auxetische Materialien mit ν > 0 ist der Modul in Belastungsrichtung dabei stets höher. Ist die Querkontraktion verhindert, also εyy = 0, gilt:

Eₓ* = E/(1 − ν²).

Wirkt in Querrichtung zusätzlich dieselbe Spannung, also σyy = σxx, ergibt sich der „biaxiale E-Modul“:

Eₓ** = E/(1 − ν).

Eₓ* ist für dickwandige Bauteile oder sehr breite Balken bedeutsam. Eₓ** beschreibt beispielsweise die laterale Steifigkeit haftender Schichten bei unterschiedlicher thermischer Ausdehnung von Schicht und Substrat. Beide Größen sind jedoch keine Werkstoffkonstanten im ursprünglichen Sinn.

Spannungen in statischen Systemen

In statisch bestimmten Systemen lassen sich die mechanischen Spannungen im linear-elastischen Bereich aus den einwirkenden Kräften und der Geometrie bestimmen. Die entstehenden Dehnungen hängen dagegen vom E-Modul der Werkstoffe ab. Bei plastischer, also bleibender Verformung werden die Spannungen durch diese Verformung begrenzt.

In statisch unbestimmten Systemen hängen auch Kräfte und Spannungen von der Steifigkeit des gesamten Systems ab. Beispiele sind Durchlaufträger, behinderte Wärmedehnung sowie ein Schiffsrumpf im Wellengang oder Tidenhub. Nachgiebigere Werkstoffe mit kleinerem E-Modul können sich flexibler anpassen, sodass geringere Spannungen entstehen. Steifere Werkstoffe setzen der elastischen Verformung einen größeren Widerstand entgegen; dadurch können sich größere Spannungen aufbauen.