Torsion (Mechanik)

Grundidee und Grundgleichungen

Torsion ist die Verdrehung eines Körpers durch ein Torsionsmoment. Ein typisches Beispiel ist ein Stab, der mit einem Hebel senkrecht zur Längsachse verdreht wird. Neben einer möglichen Querkraft wirkt dabei ein Torsionsmoment T.

Das Torsionsmoment ergibt sich aus der Kraft F am Hebel und der Hebellänge r:

T = F · r

Die Verdrehung des Stabes wird durch den Verdrehwinkel θ_t beschrieben. Er hängt vom Torsionsmoment, von der Stablänge und von den Material- und Querschnittseigenschaften ab:

θ_t = T / D = (T · L) / (G · I_T)

Dabei ist D das Direktionsmoment, L die Stablänge, G der Schubmodul und I_T das Torsionsträgheitsmoment. Der Schubmodul beschreibt das elastische Verhalten des Materials bei Schubbeanspruchung. Das Torsionsträgheitsmoment beschreibt, wie Größe und Form des Querschnitts die Verdrehung beeinflussen.

Torsionsträgheitsmoment und Spannungsgrenzen

Das Torsionsträgheitsmoment I_T ist eine wichtige Querschnittsgröße für Torsion. Nur bei Kreisquerschnitten und geschlossenen Kreisringquerschnitten ist es gleich dem polaren Flächenträgheitsmoment I_p:

I_T = I_p = (r^4 · π) / 2

Für andere Querschnitte lässt sich das Torsionsträgheitsmoment nur in besonderen Fällen in geschlossener Form berechnen. Außerdem ist wichtig, ob der Querschnitt verwölbungsfrei ist und ob eine Verwölbung behindert wird.

Bei Torsion entstehen Schubspannungen. Für bestimmte Fälle ergibt sich die Torsionsschubspannung τ_t aus dem Torsionsmoment T geteilt durch das polare Widerstandsmoment W_p:

τ_t = T / W_p

Die maximale Schubspannung tritt am Rand beziehungsweise am größten Radius des Querschnitts auf. Bei der Dimensionierung muss gelten:

τ ≤ τ_zul

τ_zul ist die maximal zulässige Schubspannung des verwendeten Materials. Wird sie überschritten, kann die Verformung zum Beispiel bei einer Welle vom elastischen in den plastischen Bereich übergehen und schließlich zum Bruch führen.

Torsion ohne und mit freier Verwölbung

Bei bestimmten geschlossenen Profilen entstehen bei Torsion Schubspannungen, aber keine Normalspannungen in Längsrichtung und damit auch keine Verwölbung des Querschnitts. Voraussetzung ist, dass die Produkte aus Wanddicke t und Abstand r zur Drehachse seitenweise konstant sind:

r_1 t_1 = r_2 t_2 = ... = r_m t_m

Ein Beispiel ist ein zylinderförmiges Rohr mit konstanter Wandstärke. Dieser Fall heißt Neubersche Schale. Dabei gilt die lineare Elastizitätstheorie: Es werden nur kleine Verzerrungen und Verformungen betrachtet, keine plastischen Verformungen. Außerdem soll das Torsionsmoment an der Längsachse angreifen.

Bei reiner Torsion, auch Saint-Venantsche Torsion genannt, dürfen sich Querschnittspunkte in Längsrichtung des Profils frei verschieben. Man spricht von unbehinderter Verwölbung. Die Querschnittsform senkrecht zur Längsrichtung bleibt bei kleinen Verformungen erhalten. Die Verwölbung wird als unabhängig von der Lage des Querschnitts angenommen und kann sich frei einstellen.

Diese Betrachtung ist besonders wichtig für Profile, die keinen kreisförmigen Querschnitt haben und nicht als Neubersche Schale aufgefasst werden können. Damit keine Normalspannungen längs des Profils auftreten, darf ein solches Profil nicht fest eingespannt sein; es muss frei im Raum stehen, und das Moment wird auf beiden Seiten aufgebracht. Das innere Torsionsmoment ist dann über die Länge des Stabes konstant und hat die Größe des äußeren Torsionsmoments. Es wird auch primäres Torsionsmoment genannt. Die größte Torsionsschubspannung liegt bei dünnwandigen geschlossenen Hohlprofilen und dünnwandigen offenen Profilen im Bereich der kleinsten Wanddicke.

Wölbkrafttorsion

Wölbkrafttorsion entsteht, wenn die Verwölbung eines verdrillten Stabquerschnitts behindert wird oder sich nicht frei einstellen kann. Das kann zum Beispiel an Auflagerpunkten durch Endplatten geschehen. Weitere Fälle sind Querschnittsänderungen mit veränderlicher Torsionssteifigkeit, veränderliche Torsionsbelastung, ein nicht konstanter Verlauf des Torsionsmoments, fehlende Wölbfreiheit des Querschnitts, eine erzwungene Drehachse außerhalb des Schubmittelpunkts oder ein Torsionsmoment, das innerhalb der Stablänge angreift.

Wölbkrafttorsion entspricht einem örtlichen Spannungszustand, der die Verdrillung des Stabes behindert. Mathematisch kann man sie sich wie eine Saint-Venantsche Torsion mit zusätzlichen statisch unbestimmten Längsspannungen am Auflagerpunkt vorstellen. Diese Längsspannungen müssen so groß sein, dass die Auflagerbedingung erfüllt ist, zum Beispiel eine Längsverschiebung gleich null.

Das innere Moment des Stabes teilt sich dann in zwei Anteile: einen Anteil aus reiner Torsion und einen Anteil aus behinderter Verwölbung. Bei Vollquerschnitten ist der Anteil des Wölbmoments wegen der relativ geringen Verwölbung meist klein und kann in der Regel vernachlässigt werden. Bei dünnwandigen Profilen muss Wölbkrafttorsion dagegen berücksichtigt werden. Zusätzlich zu den Saint-Venantschen Schubspannungen, also den primären Torsionsschubspannungen, treten sekundäre Schubspannungen beziehungsweise Wölbschubspannungen und Wölbnormalspannungen auf.

Bei geschlossenen dünnwandigen Profilen wie kaltgeformten Hohlprofilen bleiben Wölbspannungen und die daraus entstehenden Verformungen meist klein gegenüber den Spannungen aus reiner Torsion. Deshalb ist dort im Allgemeinen keine Betrachtung der Wölbkrafttorsion nötig. Grenzfälle sehr dünnwandiger Querschnitte müssen jedoch betrachtet werden. Die Verdrillung ist bei Wölbkrafttorsion über die Stablänge nicht konstant, weil der Einfluss mit zunehmendem Abstand vom Auflagerpunkt abnimmt. Auch die Wölbnormalspannungen sind über die Länge des Stabes nicht konstant, über den Querschnitt jedoch schon.

Dünnwandige Profile

Bei Torsion sind die Schubspannungen in der Mitte eines Querschnitts kleiner als am Rand. Deshalb ist es nach den Prinzipien des Leichtbaus sinnvoll, mehr Material an den Rand eines Querschnitts zu legen. Dieses Prinzip wird bei der Drehmomentübertragung durch Wellen als Hohlwelle genutzt.

Bei dünnwandigen Querschnitten tritt ein Schubfluss q_T tangential zur Wand des Rohrs oder der Welle auf. Er wird berechnet mit:

q_T = τ_0 · t

Dabei ist τ_0 die Schubspannung an der Profilmittellinie und t die Wanddicke, die je nach Ort unterschiedlich sein kann. Nach der 1. Bredtschen Formel gilt:

τ_0 = T / (2 · t · A_0)

A_0 ist die Fläche, die von der Profilmittellinie eingeschlossen wird. Setzt man dies in die Gleichung für den Schubfluss ein, erhält man:

q_T = T / (2 · A_0)

Mit einer Laufkoordinate s entlang der Profilmittellinie kann der Verdrehwinkel Φ bestimmt werden:

Φ = (T · l) / (4 · A_0^2 · G) · ∮ (1/t) ds

Dabei ist l die Länge des tordierten Stabes und G der Schubmodul. Die maximale Schubspannung lautet:

τ_max = (T · t) / I_T

Fasst man Torsionsträgheitsmoment und Wandstärke zum Torsionswiderstandsmoment W_p = I_T / t zusammen, gilt wieder:

τ_max = T / W_p

Für dünnwandige Querschnitte ist entscheidend, ob sie geschlossen oder offen sind. Geschlossene Querschnitte widerstehen Torsion deutlich besser als offene. Ein Rundrohr mit einer Wandstärke von 10 % seines Radius hat gegenüber einem geschlitzten Querschnitt mit sonst gleichen Eigenschaften ein Torsionsträgheitsmoment und ein erforderliches Moment für einen bestimmten Verdrehwinkel, die um den Faktor 300 größer sind.

Anwendungen

Torsion wird in vielen technischen und physikalischen Zusammenhängen genutzt. Ein Torsionspendel kann als Zeitnormal in Uhren dienen. Henry Cavendish verwendete 1798 eine Gravitationswaage, um die Gravitationskonstante zu messen; dabei stellte sich ein Gleichgewicht zwischen der Torsionskraft des Aufhängungsdrahtes und der Gravitationskraft ein.

Weitere Anwendungen sind Schraubenfedern, Drehstabfedern im Fahrzeugbau, Torsionsgeschütze als antike Artilleriewaffen, der Torsionsversuch zur Werkstoffprüfung und die Spanische Winsch zum Spannen. Auch beim Auswringen, zum Beispiel von Wäsche, Wischmopp oder Haaren, tritt Torsion auf.