Figurierte Zahl

Grundidee und Berechnung

Figurierte Zahlen sind Klassen von Zahlen, die sich auf geometrische Figuren beziehen. Legt man regelmäßige Figuren aus Spielsteinen und zählt die Steine, erhält man figurierte Zahlen. Beispiele sind Quadratzahlen, Kubikzahlen und Pyramidenzahlen.

Die Folgen figurierter Zahlen bilden so genannte arithmetische Folgen. Zur Bestimmung einer expliziten Formel betrachtet man die Differenzen zwischen benachbarten Folgegliedern. Diese Differenzen bilden wiederum eine Differenzenfolge. Wenn keine andere Möglichkeit erkennbar ist, kann die Gesetzmäßigkeit mit dem Polynomansatz algebraisch bestimmt werden.

Polygonal- und Rechteckzahlen

Polygonalzahlen beziehen sich auf regelmäßige Vielecke. Man unterscheidet dezentrale und zentrierte Polygonalzahlen; meist bezeichnet „Polygonalzahlen“ nur die dezentralen Zahlen, kann aber auch als Oberbegriff dienen.

Eine Polygonalzahl ist eine Zahl, zu der es ein Polygon gibt, das sich mit der entsprechenden Anzahl an Steinen legen lässt. Beispiele für die jeweils vierte Zahl sind: 10 als vierte Dreieckszahl, 16 als vierte Quadratzahl, 22 als vierte Fünfeckszahl und 28 als vierte Sechseckszahl. Außerdem wird angegeben: Für alle Primzahlen p>5 gibt es eine n-te k-Polygonalzahl P_k^(2)(n), n≥3, k≥3, mit p−1=P_k^(2)(n), aber keine mit p+1=P_k^(2)(n), n≥4, k≥3. Ferner existiert mindestens ein 2≤r<p−2 mit p−2=r mod P_3^(2)(r). Für den größeren Primzahlzwilling p'>5 gilt ausschließlich p'−2=2 mod P_3^(2)(2).

Bei zentrierten Polygonalzahlen beginnt das Muster mit einem Stein in der Mitte. Um ihn herum werden mehrere Polygone gelegt; ihre Seitenlängen erhöhen sich von innen nach außen jeweils um eins. Die benötigte Steinanzahl ist eine zentrierte Polygonalzahl. Beispiele sind 19 als vierte zentrierte Dreieckszahl, 25 als vierte zentrierte Quadratzahl, 31 als vierte zentrierte Fünfeckszahl und 37 als vierte zentrierte Sechseckszahl.

Eine Rechteckzahl oder pronische Zahl ist das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen. Die Zahl 12 ist beispielsweise eine Rechteckzahl, weil 12=3·4. Geometrisch entspricht sie einem Rechteck aus Steinen, dessen eine Seite um 1 länger ist als die andere.

Figurierte Zahlen in drei Dimensionen

Die Konstruktionen der Polygonalzahlen können von ebenen Figuren auf dreidimensionale Körper übertragen werden. Dadurch entstehen Pyramidalzahlen beziehungsweise Pyramidenzahlen und weitere Arten figurierter Zahlen. Weil die Körper Polyeder sind, wird auch die Bezeichnung Polyederzahl verwendet.

Die n-te quadratische Pyramidalzahl Pyr_4(n) entsteht als Summe der ersten n Quadratzahlen. Geometrisch werden mehrere Quadrate zu einer Pyramide gestapelt. Das Verfahren lässt sich von Quadratzahlen auf beliebige Polygonalzahlen übertragen, wodurch verschiedene Klassen von Pyramidalzahlen entstehen.

Oktaederzahlen können als Summe der ersten zentrierten Quadratzahlen ZQ_i dargestellt werden: Okt_n=∑{i=1}^n ZQ_i=ZQ_1+ZQ_2+…+ZQ_n=Pyr_4(n)+Pyr_4(n−1)=n+4T{n−1}.

Die ersten Oktaederzahlen lauten 0, 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, … (Folge A005900 in OEIS).

Die dezentralen Kubikzahlen sind die Summen der ersten zentrierten Sechseckszahlen. Ihre direkte Berechnungsformel ist Kub_n=n^3. Zentrierte Kubikzahlen werden analog definiert: ZK_n=Kub_n+Kub_{n−1}=n^3+(n−1)^3=2n^3−3n^2+3n−1.

Rhombische Dodekaederzahlen lassen sich zu einem Rhombendodekaeder zusammensetzen. Sie haben die Form ZK_n+6·Pyr_4(n)=(2n−1)(2n^2−2n+1).

Die ersten Zahlen dieser Form sind 0, 1, 15, 65, 175, 369, 671, … (Folge A005917 in OEIS).

Reguläre figurierte Zahlen

Figurierte Zahlen können für beliebige Dimensionen definiert werden. Allgemein ist die n-te figurierte Zahl der Ordnung r durch den Binomialkoeffizienten gegeben: f_r^n={n+r−1 \choose r}=((n+r−1)(n+r−2)…n)/(1·2·…·r).

Mit wachsender Ordnung entstehen aus den Dreieckszahlen zunächst die Tetraederzahlen und anschließend die Pentatopzahlen: f_2^n=Δ_n=1+2+…+n, f_3^n=T_n=Δ_1+Δ_2+…+Δ_n, f_4^n=P_n=T_1+T_2+…+T_n.

Die Folge lässt sich rekursiv in beliebige Dimensionen fortsetzen: f_{r+1}^n=∑_{i=1}^n f_r^i=f_r^1+f_r^2+…+f_r^n.

Figurenzahlen am pythagoräischen k-Dreieck

Der Satz des Pythagoras wird verallgemeinert, indem über den Seiten eines pythagoräischen k-Dreiecks Figuren errichtet werden. Für k=0 entstehen Quadrate mit der Fläche n·(n+0)=n^2, also ganzzahlig die Quadratzahlen n². Für bestimmte ganzzahlige pythagoräische k-Tripel (a,b,c) mit a²+b²=c² ist das Dreieck ABC nach dem Cosinussatz rechtwinklig. Der Differenzwinkel φ zum rechten Winkel über der längsten Seite ist dann Null; im Artikel wird dafür csc(φ)=(a+b+c+0)/0=∞ als Grenzwert der natürlichen Zahlen angegeben (Unendlichkeitsaxiom).

Für k=±1 werden rechtwinklige Dreiecke mit der Fläche 1/2·n·(n+1)=T(n) errichtet, also mit den ganzzahligen Dreieckszahlen Δ_n. Bei bestimmten ganzzahligen pythagoräischen ±1-Tripeln gilt T(a)+T(b)=T(c). Das Dreieck ABC kann dabei stumpf- oder spitzwinklig sein, während csc(φ)=(a+b+c+1)/1 des Differenzwinkels zum rechten Winkel über der längsten Seite ganzzahlig ist (Folge A012132 in OEIS).

Für k=±2 werden spezielle 2-Rechtecke mit der Fläche n·(n+2)=R(n) verwendet, also die 2-Rechteckszahlen R_n. Für bestimmte ganzzahlige pythagoräische ±2-Tripel gilt R(a)+R(b)=R(c). Das Dreieck ABC ist trotz geradzahligem Umfang stumpf- oder spitzwinklig; zugleich ist csc(φ)=(a+b+c+2)/2 ganzzahlig (Folge A198457 in OEIS).

Für k=±1 oder k=±2 ergeben sich daraus Aussagen zur Teilbarkeit. Allgemein nähert sich bei einem gegen Unendlich wachsenden Dreiecksumfang a+b+c der Differenzwinkel φ dem Wert Null. Die Form des pythagoräischen k-Dreiecks ABC nähert sich dadurch der eines (0-)pythagoräischen Dreiecks ABC (Folge A103606 in OEIS).