Differenzenfolge

Grundidee und Definition

Die Differenzenfolge beschreibt, wie sich die Glieder einer Zahlenfolge von einem Schritt zum nächsten ändern. Ist (aₙ) = a₀, a₁, a₂, a₃, … eine Zahlenfolge, werden jeweils zwei benachbarte Glieder voneinander abgezogen. Die entstehenden Differenzen bilden eine neue Folge (dₙ).

Formal gilt:

dₙ := aₙ₊₁ − aₙ.

Damit lautet die Differenzenfolge a₁ − a₀, a₂ − a₁, a₃ − a₂, … . Sie ist besonders nützlich, um regelmäßige Veränderungen in einer Folge zu erkennen.

Einfaches Beispiel

Bei der Folge der ungeraden natürlichen Zahlen

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

beträgt die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder stets 2. Ihre Differenzenfolge ist daher die konstante Folge

2, 2, 2, 2, 2, … .

Eine konstante Differenzenfolge zeigt hier, dass die ursprüngliche Folge bei jedem Schritt um denselben Betrag wächst.

Differenzen höherer Ordnung

Auch von einer Differenzenfolge kann erneut eine Differenzenfolge gebildet werden. Das Ergebnis heißt Differenzenfolge 2. Ordnung oder zweite Differenzenfolge. Wird das Verfahren weitergeführt, entstehen die dritte, vierte und allgemein die k-te Differenzenfolge.

Die rekursive Definition lautet:

dₙ⁽¹⁾ = dₙ = aₙ₊₁ − aₙ

und

dₙ⁽ᵏ⁾ = dₙ₊₁⁽ᵏ⁻¹⁾ − dₙ⁽ᵏ⁻¹⁾ für k ≥ 2.

„Rekursiv“ bedeutet, dass jede neue Differenzenfolge aus der unmittelbar vorherigen berechnet wird. Ein Differenzenschema ordnet die Ausgangsfolge und die aufeinanderfolgenden Differenzen übersichtlich untereinander an.

Ein Beispiel beginnt mit

(aₙ) = (4, 7, 11, 18, 31, 54, 92, 151, …),

aₙ = (96 + 70n − n² + 2n³ + n⁴)/24.

Daraus entstehen nacheinander:

• (dₙ) = (3, 4, 7, 13, 23, 38, 59, …), mit dₙ = (18 + 2n + 3n² + n³)/6

• (dₙ⁽²⁾) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, …), mit dₙ⁽²⁾ = (2 + 3n + n²)/2

• (dₙ⁽³⁾) = (2, 3, 4, 5, 6, …), mit dₙ⁽³⁾ = n + 2

• (dₙ⁽⁴⁾) = (1, 1, 1, 1, …), mit dₙ⁽⁴⁾ = 1

• (dₙ⁽⁵⁾) = (0, 0, 0, …), mit dₙ⁽⁵⁾ = 0.

Alle weiteren Differenzenfolgen sind ebenfalls konstante Nullfolgen.

Wichtige Eigenschaften

Für Folgen, deren Glieder durch ein Polynom beschrieben werden, sinkt der Polynomgrad bei jeder Differenzenbildung um eins: Die Differenzenfolge eines Polynoms k-ten Grades ist vom Grad k − 1. Deshalb entsteht nach genügend vielen Schritten eine konstante Folge und anschließend eine Nullfolge. Der Artikel weist darauf hin, dass dieser Abschnitt nicht hinreichend mit Belegen ausgestattet ist.

Nach Newton kann jede Folge aus dem ersten Glied der Ausgangsfolge und den jeweils ersten Gliedern ihrer Differenzenfolgen dargestellt werden:

aₙ = a₀ + n·d₀ + (n über 2)d₀⁽²⁾ + (n über 3)d₀⁽³⁾ + (n über 4)d₀⁽⁴⁾ + ⋯ + (n über n)d₀⁽ⁿ⁾

= a₀ + ∑ₖ₌₁ⁿ (n über k)d₀⁽ᵏ⁾.

Dabei sind (n über k) die Binomialkoeffizienten. Bei Polynomfolgen treten nur endlich viele von null verschiedene Startwerte d₀⁽ᵏ⁾ auf.

Nicht jede Folge führt durch wiederholte Differenzenbildung zu Nullfolgen. Für die geometrische Folge aₙ = 2ⁿ gilt:

(aₙ) = (1, 2, 4, 8, 16, 32, …),

(dₙ) = (1, 2, 4, 8, 16, …),

(dₙ⁽²⁾) = (1, 2, 4, 8, …), … .

Jede Differenzenfolge stimmt hier, abgesehen von der geringeren Anzahl dargestellter Glieder, wieder mit der ursprünglichen Folge überein.

Anwendungen

Mit der ersten Differenzenfolge lässt sich prüfen, ob eine gegebene Folge eine arithmetische Folge ist: Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz benachbarter Glieder konstant. Durch wiederholte Differenzenbildung lassen sich außerdem arithmetische Folgen höherer Ordnung charakterisieren. Daher sind Differenzenfolgen auch bei der Untersuchung figurierter Zahlen wie Polygonalzahlen von Bedeutung.

In der mathematischen Forschung werden insbesondere die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen untersucht. Terence Tao und Ben Green bewiesen 2004 im Satz von Green-Tao, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen aus Primzahlen gibt. Die nach dem Stand von 2010 längste bekannte Progression dieser Art bestand aus 26 Elementen und wird AP-26 genannt.

Außerhalb der mathematischen Forschung werden Differenzenfolgen in Intelligenztests und Denksportaufgaben verwendet, um die Regel hinter einer Zahlenfolge zu erkennen.