Primzahlzwilling – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Ein Primzahlzwilling ist eine von zwei Primzahlen, deren Abstand genau 2 beträgt. Ein Primzahlzwillingspaar ist genauer ein geordnetes Paar (p_1, p_2) von Primzahlen mit p_2 > p_1 und p_2 - p_1 = 2. Beide Zahlen p_1 und p_2 heißen dann Primzahlzwillinge. Die kleinsten Beispiele sind (3,5), (5,7) und (11,13). Die Primzahlen 2 und 3 haben zwar den Abstand 1, sind aber nach dieser Definition kein Primzahlzwilling.

Wichtige Eigenschaften

Mit Ausnahme des Paares (3,5) liegt zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings immer eine durch 6 teilbare Zahl. Der Grund ist: Jede ganze Zahl lässt sich in einer der Formen 6n-2, 6n-1, 6n, 6n+1, 6n+2 oder 6n+3 schreiben. Zahlen der Formen 6n-2, 6n und 6n+2 sind durch 2 teilbar und daher außer 2 nicht prim. Zahlen der Formen 6n+3 oder 6n sind durch 3 teilbar und daher außer 3 nicht prim. Deshalb haben alle Primzahlen größer als 3 die Form 6n-1 oder 6n+1. Jeder Primzahlzwilling außer (3,5) hat also die Form (6n-1, 6n+1).

Noch genauer gilt: Jedes Primzahlzwillingspaar außer (3,5) und (5,7) hat mit einer ganzen Zahl n genau eine der drei Formen (30n-1, 30n+1), (30n+11, 30n+13) oder (30n+17, 30n+19). Die letzte Form kann auch als (30n-13, 30n-11) geschrieben werden. Diese Einschränkungen entstehen, weil Primzahlen außer 3 und 5 nicht durch 3 oder 5 teilbar sein dürfen.

Primzahlzwillinge lassen sich außerdem, ähnlich wie Primzahlen durch den Satz von Wilson, durch eine einzige zahlentheoretische Kongruenz charakterisieren; das beschreibt der Satz von Clement.

Beispiele und besondere Fälle

Das kleinste Primzahlzwillingspaar ist (3,5). Die Zahl 5 ist die einzige Zahl, die in zwei verschiedenen Primzahlzwillingen vorkommt, nämlich in (3,5) und (5,7).

Das größte derzeit bekannte Primzahlzwillingspaar, Stand 6. November 2025, ist 2.996.863.034.895 · 2^1.290.000 ± 1. Diese beiden Zahlen haben 388.342 Ziffern. Sie wurden vom Volunteer-Computing-Projekt PrimeGrid gefunden und haben fast doppelt so viele Ziffern wie die Zahlen des vorherigen Rekords aus dem Jahr 2011.

Zwei Primzahlzwillinge mit Abstand vier, also eine Folge der Form (p, p+2, p+6, p+8), heißen Primzahlvierlinge.

Offene Fragen und Vermutungen

Eine der wichtigsten offenen Fragen ist die Primzahlzwillingsvermutung. Sie besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Es ist bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, aber für Primzahlzwillinge ist das nicht bewiesen.

Bis zur Berechnungsgrenze n = 100.000 fallen sowohl der prozentuale Anteil der Primzahlen als auch der Anteil der Primzahl-Zwillingspaare an den natürlichen Zahlen streng monoton, aber relativ langsam. Diese Beobachtung spricht eher für unendlich viele Primzahlzwillinge, ist aber kein Beweis.

Viggo Brun bewies 1919, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Ihr Grenzwert heißt Brunsche Konstante und beträgt nach einer Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104. Daraus folgt weder, dass es endlich viele, noch, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

G. H. Hardy und J. E. Littlewood stellten 1923 eine Vermutung über die asymptotische Dichte der Primzahlzwillinge auf. Danach ist die Anzahl der Primzahlzwillinge kleiner als x asymptotisch durch 2 C_2 ∫2^x dt/(log t)^2 gegeben. Dabei ist C_2 = ∏{p>2, p prim}(1 - 1/(p-1)^2) = 0,660161815846869573927812110014... die Primzahlzwillingskonstante. Diese Vermutung ist unbewiesen; weil aus ihr die Primzahlzwillingsvermutung folgen würde, heißt sie auch starke Primzahlzwillingsvermutung.

Wichtige Fortschritte betreffen kleinere Abstände zwischen Primzahlen. Paul Erdős zeigte 1940, dass es für unendlich viele Paare aufeinanderfolgender Primzahlen p, p' eine positive Konstante c < 1 mit p' - p < c log(p) gibt. Goldston, Yıldırım und Pintz legten 2005 mit dem GPY-Sieb einen als korrekt bewerteten Beweis für stärkere Aussagen vor. Yitang Zhang bewies 2013, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand höchstens 70.000.000 gibt; diese Grenze wurde später auf 246 gesenkt. James Maynard erreichte 2013 mit einer anderen Methode die Grenze 600 und übertrug Resultate auf höhere k-Tupel von Primzahlen. Die Primzahlzwillingsvermutung selbst wäre erst mit der Grenze 2 bewiesen. Für Funktionenkörper wurde die entsprechende Vermutung 2022 von Will Sawin und Mark Shusterman bewiesen.

Isolierte Primzahlen und Verallgemeinerungen

Eine isolierte Primzahl ist eine Primzahl p, für die weder p-2 noch p+2 eine Primzahl ist. Anders gesagt: p ist kein Primzahlzwilling. Zum Beispiel ist 23 isoliert, weil 21 = 3 · 7 und 25 = 5 · 5 keine Primzahlen sind. Die kleinsten isolierten Primzahlen beginnen mit 2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97. Fast alle Primzahlen sind im zahlentheoretischen Sinn isolierte Primzahlen; daraus folgt auch, dass es unendlich viele isolierte Primzahlen gibt.

Eine Verallgemeinerung von Primzahlzwillingen sind Primzahltupel. Eine weitere verwandte Vermutung ist die Vermutung von Polignac von 1849: Für jede gerade Zahl n gibt es unendlich viele benachbarte Primzahlen mit Abstand n. Auch diese Vermutung ist offen.

Bedeutung für eine Prozessorentdeckung

Primzahlzwillinge spielten auch bei der Entdeckung eines bekannten Computerfehlers eine Rolle. Der amerikanische Mathematiker Thomas R. Nicely verglich ab März 1995 Berechnungen auf PCs mit Intel-Pentium-Prozessoren mit Ergebnissen älterer PCs. Dabei fand er eine Abweichung bei der Berechnung der Summe über die Kehrwerte von Primzahlzwillingen, genauer beim Paar (824 633 702 441, 824 633 702 443). Ursache war ein Fehler in der Gleitkommaeinheit des Prozessors, der Pentium-FDIV-Bug. Der seltene Fehler war reproduzierbar; seine relative Größe lag deutlich unter einem Promille, weil stets mindestens die ersten 12 Bit korrekt waren. Die Umtauschaktion soll etwa 470 Millionen Dollar gekostet haben.