Arithmetische Folge

Was ist eine arithmetische Folge?

Eine arithmetische Folge (auch: arithmetische Progression) ist eine Zahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder stets den gleichen Abstand haben. Ein Beispiel ist die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, bei der alle benachbarten Glieder den Abstand 2 haben. Die Summierung der Folgenglieder einer arithmetischen Folge ergibt eine arithmetische Reihe.

Definition

Eine Zahlenfolge (a_n) heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, also stets ein und dieselbe Zahl entspricht. Wird diese Zahl mit d („Differenz“) bezeichnet, gilt für jeden Folgenindex n: a_{n+1} − a_n = d.

Berechnung der Folgenglieder

Durch Umstellen der Definitionsgleichung erhält man die Rekursionsvorschrift a_{n+1} = a_n + d: Das nächste Folgenglied entsteht aus dem vorhergehenden durch Addition der konstanten Differenz d. Alternativ kann jedes Folgenglied direkt berechnet werden. Durch wiederholtes Einsetzen ergibt sich für das n-te Glied die explizite Formel a_n = a_1 + (n−1)·d. Eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a_1 und Differenz d lässt sich also schreiben als (a_1 + (n−1)d).

Zahlenbeispiele

Die Folge der natürlichen Zahlen ist eine arithmetische Folge mit a_1 = 1 (bzw. a_0 = 0, wenn man die Null zu den natürlichen Zahlen zählt) und d = 1. Die Multiplikationsreihen des Einmaleins („Einerreihe“, „Zweierreihe“ usw.) sind arithmetische Folgen; bei der Sechserreihe 6, 12, 18, 24, 30, … ist a_1 = 6 und d = 6, das n-te Glied ist a_n = 6n. Jede konstante Folge a, a, a, … ist eine arithmetische Folge mit a_0 = a und d = 0. Die Folge mit a_0 = 25 und d = −3/2 lautet 25, 23 1/2, 22, 20 1/2, 19, 17 1/2, 16, …; das Glied a_6 berechnet sich als a_6 = a_0 + 6·d = 25 + 6·(−3/2) = 16. Die Folge 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 ist eine Folge von Primzahlen mit konstantem Abstand 210 (210 = 2·3·5·7, ein Primorial) und endet nach 10 Gliedern. Terence Tao und Ben Green bewiesen (Satz von Green-Tao), dass es beliebig lange derartige arithmetische Folgen von Primzahlen geben muss; die längste bisher bekannte Folge wurde 2019 gefunden und besteht aus 27 Elementen.

Anwendung: Lineare Verzinsung

Beim Überziehen eines Kontos werden in der Regel tageweise Sollzinsen berechnet. Die Überziehungszinsen wachsen also tageweise linear an, was auf eine arithmetische Folge führt. Beträgt der Zinssatz 9 % p. a. und wird das Konto um 1000 Euro überzogen, so betragen die täglichen Überziehungszinsen 0,25 Euro (bei Anwendung der 30/360-Methode): nach einem Tag 0,25 Euro, nach zwei Tagen 0,50 Euro, nach drei Tagen 0,75 Euro usw.

Namensherkunft

Der Name „arithmetische Folge“ leitet sich vom arithmetischen Mittel ab: Jedes Glied a_i mit i > 0 ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder. Das zeigt man mit a_i = a_{i-1} + d bzw. a_{i-1} = a_i − d: (a_{i+1} + a_{i-1})/2 = ((a_i + d) + (a_i − d))/2 = 2a_i/2 = a_i.