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Fakultätenreihe
Der Begriff der Fakultätenreihe (englisch factorial series) entstammt der Mathematik. Die Fakultätenreihen zählen zu den Funktionenreihen und stehen in …
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Begriff und Aufbau
Eine Fakultätenreihe ist eine Funktionenreihe der komplexen Mathematik. Sie ist eng mit Dirichletreihen verwandt und spielt besonders bei der Untersuchung von Differenzengleichungen eine Rolle.
Zu einer Folge reeller oder komplexer Zahlen \mathcal A=(a_n)_{n=0,1,2,\ldots} gehört die Reihe
\Omega(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!a_n}{z(z+1)\cdots(z+n)}
für z\in\mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}. Die ausgeschlossenen Werte würden in den Nennern zu einer Division durch null führen. Die ersten Glieder sind
\frac{a_0}{z}+\frac{a_1}{z(z+1)}+\frac{2a_2}{z(z+1)(z+2)}+\frac{6a_3}{z(z+1)(z+2)(z+3)}+\cdots.
Die Bezeichnung ist nicht bei allen Autoren völlig gleich: Manche setzen a_0=0 voraus. Andere rechnen auch eine zusätzliche reelle oder komplexe Konstante c ein und nennen c+\Omega(z) eine Fakultätenreihe. Diese Auffassungen gelten als im Wesentlichen gleichwertig.
Konvergenz und Dirichletreihen
Für das Konvergenzverhalten ist der Satz von Landau zentral. Er vergleicht die Fakultätenreihe \Omega(z) mit der zugehörigen Dirichletreihe
\Psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^z}.
Innerhalb von \mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\ldots\} haben beide Reihen genau dasselbe Konvergenzverhalten: Für dieselben Werte von z konvergieren sie beziehungsweise divergieren sie.
Auch die gleichmäßige Konvergenz stimmt überein. Auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe \overline{U_r(z_0)}, die vollständig im genannten Gebiet liegt, ist \Omega(z) genau dann gleichmäßig konvergent, wenn \Psi(z) dort gleichmäßig konvergiert. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet hier, dass die Partialsummen die Grenzfunktion auf dem ganzen betrachteten Gebiet gleichmäßig gut annähern.
Nach einem Satz von Konrad Knopp ähneln diese Beziehungen zwischen Fakultätenreihe und Dirichletreihe den Beziehungen zwischen einer Lambert-Reihe und der zugehörigen Potenzreihe.
Form des Konvergenzgebiets
Der Satz von Jensen beschreibt, wo eine Fakultätenreihe konvergiert. Es gibt stets eine endliche oder unendliche reelle Zahl
\lambda\in\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\},
die Konvergenzabszisse heißt. Für \operatorname{Re}(z)<\lambda divergiert \Omega(z), für \operatorname{Re}(z)>\lambda konvergiert sie. \operatorname{Re}(z) bezeichnet den Realteil der komplexen Zahl z. Das Konvergenzgebiet ist somit eine nach rechts offene Halbebene; gegebenenfalls werden daraus 0,-1,-2,\ldots entfernt.
Der Satz von Pincherle gibt die entsprechende Aussage für absolute Konvergenz. Es gibt eine Abszisse der absoluten Konvergenz
\mu\in\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\},
sodass die Reihe für \operatorname{Re}(z)>\mu absolut konvergiert. Absolute Konvergenz bedeutet, dass die Reihe der Beträge ihrer Glieder konvergiert. Im Streifen \lambda<\operatorname{Re}(z)<\mu ist die Reihe zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die Breite dieses unendlichen Streifens ist höchstens 1:
\lambda\leq\mu\leq\lambda+1.
Gleichmäßigkeit und Holomorphie
Der Satz von Nørlund liefert eine weitergehende Form gleichmäßiger Konvergenz. Konvergiere \Omega(z) in einem Punkt z_0\in\mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}. Ist 0<\eta<\frac{\pi}{2}, so konvergiert die Reihe auf dem bei z_0 verankerten, nach rechts geöffneten Winkelfeld W(z_0,\eta) gleichmäßig. Seine Begrenzung entsteht aus den von z_0 ausgehenden, zur reellen Achse senkrechten Halbgeraden durch Drehungen um \eta Radiant.
Aus dem weierstraßschen Konvergenzsatz zusammen mit dem Satz von Nørlund folgt eine Regularitätseigenschaft: Die Zuordnung z\mapsto\Omega(z) definiert auf der Konvergenzhalbebene \operatorname{Re}(z)>\lambda, unter Ausschluss von 0,-1,-2,\ldots, eine holomorphe Funktion. Holomorph bedeutet, dass die komplexe Funktion dort differenzierbar ist.
Ihre Ableitung lautet
\Omega'(z)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!\cdot\left(\frac{a_0}{n}+\frac{a_1}{n-1}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{1}\right)}{z(z+1)\cdots(z+n)}.
Darstellung mit speziellen Funktionen
Fakultätenreihen können mithilfe der Gammafunktion \Gamma und der eulerschen Betafunktion \mathrm B geschrieben werden. Für dieselbe Reihe gilt
\Omega(z)=\Gamma(z)\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!a_n}{\Gamma(z+n+1)}
und zugleich
\Omega(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot\mathrm B(z+n+1)
für z\in\mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}. Diese Darstellungen sind alternative Formen derselben Fakultätenreihe.