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Fünfecksatz
Der Fünfecksatz, englisch Pentagon theorem, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der euklidischen Geometrie. Er behandelt eine Eigenschaft …
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Kernaussage
Der Fünfecksatz, auf Englisch Pentagon theorem, ist ein Satz aus der euklidischen Geometrie. Er beschreibt eine Eigenschaft bestimmter Fünfecke im 3-dimensionalen euklidischen Raum \mathbb{R}^3.
Der Satz lautet: Bilden fünf gleich lange Vektoren im \mathbb{R}^3 ein geschlossenes Fünfeck so, dass auch die von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkel gleich groß sind, dann liegen diese Vektoren in einer gemeinsamen Ebene. Man nennt das komplanar.
Kurz gesagt: Ein räumliches Fünfeck mit lauter gleich langen Seiten und lauter gleich großen Winkeln ist notwendigerweise eben.
Bedeutung und Grenzen
Der Fünfecksatz gilt speziell für Fünfecke. Der entsprechende Sachverhalt lässt sich nicht einfach auf andere Vielecke übertragen.
Für Vierecke und für Vielecke mit sechs oder mehr Eckpunkten gibt es Beispiele, bei denen alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind, deren Eckpunkte aber trotzdem nicht in einer Ebene liegen. Solche Vielecke sind also räumlich und nicht komplanar.
Beweise und historische Hinweise
Ostermann und Wanner nennen den Satz auch Fünfecksatz von van der Waerden, auf Englisch van der Waerden’s pentagon theorem. Der erste strenge Beweis soll jedoch nicht erst in der Arbeit von Bartel Leendert van der Waerden aus dem Jahr 1970 erschienen sein, sondern bereits 1961 in einer russischen Fachzeitschrift. Der Satz wurde durch ein Problem nahegelegt, das Wladimir Igorewitsch Arnold im Jahr 1957 gestellt hatte.
Van der Waerden wurde durch Gespräche mit dem britischen Chemiker Jack D. Dunitz auf den Satz aufmerksam. In der Chemie war die Gültigkeit des Fünfecksatzes nach Untersuchungen der Arsenverbindungen (AsCH_3)_n offenbar schon lange vermutet worden.
Stanislav Šmakal veröffentlichte 1972 einen kurzen elementaren Beweis mit Volumenberechnungen und der gramschen Determinante. Gerrit Bol und Harold Scott MacDonald Coxeter fanden 1970 unabhängig voneinander einen eleganten Beweis. Dieser Beweis nutzt einen Satz von Leonhard Euler: Die orientierungserhaltenden orthogonalen Abbildungen des 3-dimensionalen euklidischen Raums auf sich entsprechen genau den Raumdrehungen.