Gramsche Determinante

Kernidee

Die Gramsche Determinante ist ein Begriff aus der Matrizenrechnung und der linearen Algebra. Sie dient dazu, für bestimmte nichtquadratische Matrizen eine Größe zu erhalten, die ähnlich wie eine Determinante bei quadratischen Matrizen Informationen über Volumenänderung und lineare Abhängigkeit liefert. Während gewöhnliche Determinanten nur für quadratische Matrizen definiert sind, verwendet man bei nichtquadratischen Matrizen unter anderem Minoren und Gramsche Determinanten.

Definition

Für eine Matrix A aus K^{m x n} mit m >= n heißt

Gram(A) = det(A^T A)

die Gramsche Determinante. Dabei ist A^T die transponierte Matrix von A, und A^T A ist eine quadratische n x n-Matrix.

Für K = R gilt: Gram(A) ist nie negativ. Außerdem ist Gram(A) genau dann 0, wenn rang A < n gilt. Das bedeutet: Die Spalten von A sind dann linear abhängig. Sind die Spalten linear unabhängig, ist die Gramsche Determinante ungleich 0.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy kann man die Gramsche Determinante auch als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben. Ein Minor ist dabei eine Determinante einer Teilmatrix; maximale Minoren haben hier die größtmögliche passende quadratische Größe.

Gramsche Matrix

Für A aus R^{m x n} enthält die Matrix A^T A =: M die kanonischen Skalarprodukte der Spalten von A. Ein Skalarprodukt ist eine Rechenvorschrift, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet und damit unter anderem Längen und Winkel beschreibbar macht.

Allgemeiner betrachtet man einen n-dimensionalen K-Vektorraum V mit Basis (v_1, ..., v_n) und einer Bilinearform <.,.> : V x V -> K. Eine Bilinearform ist eine Abbildung, die in jedem der beiden Vektor-Argumente linear ist. Die zugehörige Gramsche Matrix ist

M = (<v_i, v_j>)_{i,j=1,...,n}.

Diese Matrix heißt auch darstellende Matrix der Bilinearform. Die Bilinearform wird durch die Einträge der Gram-Matrix vollständig festgelegt. Sie ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn M symmetrisch und positiv definit ist. Symmetrisch bedeutet, dass M beim Spiegeln an der Hauptdiagonalen gleich bleibt; positiv definit bedeutet hier, dass die Matrix die für ein Skalarprodukt nötige positive Längeneigenschaft besitzt.

Unabhängigkeit und Volumen

Ist <.,.> ein Skalarprodukt und sind v_1, ..., v_n beliebige Vektoren aus V, dann nennt man M die Gram-Matrix dieser Vektoren. Ihre Determinante heißt Gramsche Determinante der Vektoren.

Eine wichtige Anwendung ist das Kriterium der linearen Unabhängigkeit: Die Vektoren v_1, ..., v_n sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Gramsche Determinante nicht 0 ist. Da diese Determinante in diesem Fall nichtnegativ ist, kann man aus ihr die Quadratwurzel ziehen.

Damit definiert man das n-dimensionale Volumen des von v_1, ..., v_n aufgespannten Spates durch

Vol(v_1, ..., v_n) := sqrt(det(M)).

Ein Spat ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung eines Parallelogramms oder Parallelepipeds, das von den gegebenen Vektoren aufgespannt wird.