Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Grundidee und Schreibweisen

Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl eine ganze Zahl zu. Die Abrundungsfunktion liefert die nächstliegende nicht größere ganze Zahl, die Aufrundungsfunktion die nächstliegende nicht kleinere. Sie sind wichtig, wenn Werte in ganze Einheiten eingeteilt oder auf ganze Zahlen begrenzt werden sollen.

Für die Abrundung werden \lfloor x\rfloor, \operatorname{floor}(x) sowie teilweise die Gaußklammer [x] verwendet. Für die Aufrundung stehen \lceil x\rceil und \operatorname{ceil}(x). Die Klammern \lfloor\,\rfloor und \lceil\,\rceil sind entsprechend weiterentwickelte eckige Klammern.

Abrunden auf die größte passende ganze Zahl

Für eine reelle Zahl x ist \lfloor x\rfloor die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist:

\lfloor x\rfloor :=\max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\leq x\}.

Beispiele: \lfloor2{,}8\rfloor=2, \lfloor-2{,}8\rfloor=-3, \lfloor-2{,}2\rfloor=-3 und \lfloor2\rfloor=2. Besonders bei negativen Zahlen bedeutet Abrunden also, zu einer kleineren Zahl auf der Zahlengeraden zu gehen.

Stets gilt \lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1. Dabei ist \lfloor x\rfloor=x genau dann, wenn x ganz ist. Für k\in\mathbb{Z} gilt außerdem k\leq\lfloor x\rfloor\Longleftrightarrow k\leq x und \lfloor x+k\rfloor=\lfloor x\rfloor+k.

Für zwei reelle Zahlen gilt \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor\leq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1. Die Funktion ist idempotent, also \lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor. Sie ist nicht stetig, aber oberhalbstetig. Für x,y\geq0 gilt \lfloor x\rfloor\cdot\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x\cdot y\rfloor. In Programmiersprachen gibt es dafür unter anderem Funktionen wie int, floor oder entier.

Aufrunden auf die kleinste passende ganze Zahl

Für eine reelle Zahl x ist \lceil x\rceil die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist:

\lceil x\rceil :=\min\{k\in\mathbb{Z}\mid k\geq x\}.

Beispiele: \lceil2{,}8\rceil=3, \lceil2{,}3\rceil=3, \lceil-2{,}8\rceil=-2 und \lceil2\rceil=2. Eine bereits ganze Zahl bleibt also unverändert.

Auch die Aufrundungsfunktion ist idempotent: \lceil\lceil x\rceil\rceil=\lceil x\rceil. Für m\in\mathbb{Z} und n\in\mathbb{N} gilt \left\lceil\frac{x+m}{n}\right\rceil=\left\lceil\frac{\lceil x\rceil+m}{n}\right\rceil. Für m\neq0 folgt \left\lceil\frac{\lceil x/m\rceil}{n}\right\rceil=\left\lceil\frac{x}{mn}\right\rceil. In Programmiersprachen werden dafür beispielsweise ceil oder ceiling verwendet.

Zusammenhänge, Nachkommaanteil und Rundung

Für positive Zahlen lässt sich x in Ganzzahl- und Nachkommaanteil zerlegen: x=\lfloor x\rfloor+\operatorname{frac}(x). Dabei erfüllt \operatorname{frac}(x) stets 0\leq\operatorname{frac}(x)<1.

Auf- und Abrunden sind direkt verknüpft: \lceil x\rceil+\lfloor-x\rfloor=0, also \lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor. Weitere Beziehungen sind \lceil x\rceil\leq y\Longleftrightarrow x\leq\lfloor y\rfloor sowie \lfloor x\rfloor<y\Longleftrightarrow x<\lceil y\rceil.

Für ganze Zahlen k gilt \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor+\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil=k. Für reelle x,y mit y\neq0 gilt \left\lceil\frac{x+1}{y}\right\rceil-\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor=1.

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann für x\geq0 als \lfloor x+0{,}5\rfloor und für x<0 als \lceil x-0{,}5\rceil geschrieben werden.