Spezielle Relativitätstheorie

Grundidee und Geltungsbereich

Die spezielle Relativitätstheorie (SRT) ist eine grundlegende Theorie über Bewegungen von Körpern und Feldern in Raum und Zeit. Sie beschreibt insbesondere Bezugssysteme, die sich gleichförmig, also mit konstanter Geschwindigkeit, gegeneinander bewegen. Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem der Trägheitssatz gilt: Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig und gleichförmig.

Einsteins Relativitätsprinzip besagt, dass alle physikalischen Gesetze – nicht nur die Gesetze der Mechanik – in jedem Inertialsystem dieselbe Form haben. Deshalb gibt es keine physikalisch bedeutungsvolle Absolutbewegung oder absoluten Stillstand. Die Erde kann sich etwa mit 30 Kilometern pro Sekunde um die Sonne bewegen, ohne dass dies innerhalb eines gleichförmig bewegten Systems unmittelbar bemerkbar ist.

Die klassische Mechanik benutzt Galilei-Transformationen und nimmt einen dreidimensionalen euklidischen Raum sowie eine davon unabhängige, universelle Zeit an. Die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus sind jedoch nicht Galilei-invariant. Versuche wie der Michelson-Morley-Versuch konnten außerdem keine Bewegung der Erde gegenüber einem ausgezeichneten Bezugssystem nachweisen.

Einstein formulierte 1905 zwei Postulate: Die Gesetze physikalischer Systeme sind unabhängig davon, auf welches von zwei gleichförmig relativ bewegten Koordinatensystemen sie bezogen werden; außerdem bewegt sich jeder Lichtstrahl mit einer bestimmten Geschwindigkeit, unabhängig davon, ob die Quelle ruht oder bewegt ist. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, heute mit c bezeichnet, hat damit für alle Beobachter in Inertialsystemen denselben Wert. Die SRT ist vielfach experimentell und mit hoher Genauigkeit bestätigt worden.

Gleichzeitigkeit, Längen und Zeiten

Um die Postulate zu erfüllen, müssen Galilei-Transformationen durch Lorentz-Transformationen ersetzt werden. Diese behandeln Raum und Zeit gemeinsam und lassen die Vakuumlichtgeschwindigkeit unverändert. Bei Alltagsgeschwindigkeiten sind ihre Unterschiede zu den klassischen Formeln kaum messbar; bei Geschwindigkeiten nahe c treten relativistische Effekte deutlich hervor.

Gleichzeitigkeit wird mit Lichtsignalen festgelegt: Zwei gleich weit vom Beobachter entfernte Ereignisse sind gleichzeitig, wenn ihre Lichtsignale gleichzeitig bei ihm eintreffen. In Einsteins Zug-Gedankenexperiment erreicht ein Lichtblitz vom Mittelpunkt eines Bahnsteigs für einen Beobachter auf dem Bahnsteig beide Enden gleichzeitig. Für einen Beobachter im fahrenden Zug bewegt sich das vordere Ende dem Licht entgegen, das hintere entfernt sich; er beobachtet daher verschiedene Ankunftszeiten. Es gibt keine absolute, beobachterunabhängige Gleichzeitigkeit. Nur Ereignisse, die sich ausschließlich senkrecht zur Bewegungsrichtung unterscheiden, bleiben in beiden Systemen gleichzeitig.

Ist der zeitliche Abstand zweier Ereignisse kürzer als die Lichtlaufzeit zwischen ihren Orten, kann ihre Reihenfolge je nach Bezugssystem verschieden sein. Ist er größer, stimmen alle Beobachter in der Reihenfolge überein. Daher kann eine Ursache nur dann Wirkung erzeugen, wenn sie eindeutig vorher liegt; Information und Ursache-Wirkung-Beziehungen können sich nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Längen in Bewegungsrichtung erscheinen einem Beobachter verkürzt, wenn das betreffende System relativ zu ihm bewegt ist. Diese Lorentz-Kontraktion betrifft nicht die Richtung senkrecht zur Bewegung. Ebenso vergeht die Zeit eines relativ bewegten Systems aus Sicht des Beobachters langsamer; dies heißt Zeitdilatation. Die Eigenzeit ist die Zeit einer mitgeführten Uhr und der kürzeste unveränderliche Wert für zwei kausal verbundene Ereignisse. Der Lorentz-Faktor lautet γ = 1/√(1−(v/c)²). Ein Eigenzeitintervall Δτ ist gegenüber Δt um den Faktor 1/γ kleiner; ein mitbewegter Maßstab erscheint um denselben Faktor verkürzt. Selbst bei Schallgeschwindigkeit bleibt die Änderung kleiner als ein Billionstel (10⁻¹²).

Beim Zwillingsparadoxon kehrt ein Reisender nach einem Umstieg zum Ausgangspunkt zurück und hat dann weniger Zeit erlebt als ein wartender Beobachter. Die Situation ist nicht symmetrisch, weil der Reisende sein Inertialsystem wechselt. Das Hafele-Keating-Experiment verglich dazu Atomuhren in einem Flugzeug und am Start- und Zielflugplatz; die zurückgebliebene Uhr zeigte eine geringfügige, präzise messbare Gang-Erhöhung.

Geschwindigkeit, Impuls und Energie

Geschwindigkeiten werden in der SRT nicht einfach addiert. Bewegt sich beispielsweise ein Schaffner im fahrenden Zug nach vorn, ist seine Geschwindigkeit vom Bahnsteig aus geringer als die klassische Summe aus Zug- und Laufgeschwindigkeit. Das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten stellt sicher, dass die Summe zweier Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit ebenfalls unterhalb von c bleibt. Auch ein nach vorn oder hinten gerichteter Lichtstrahl besitzt für alle Beobachter genau Lichtgeschwindigkeit.

Der klassische Impuls als Produkt aus Masse und Geschwindigkeit genügt bei hohen Geschwindigkeiten nicht mehr, weil er dann mit der Impulserhaltung unvereinbar sein kann. Der relativistische Impuls und die kinetische Energie wachsen stärker als linear mit der Geschwindigkeit. Entsprechend wächst die Massenträgheit; im Grenzfall der Lichtgeschwindigkeit würden Impuls und Energie unendlich groß. Deshalb kann kein materieller Körper c erreichen.

Masse und Energie sind äquivalent. Nimmt ein Körper Energie ΔE auf oder gibt sie ab, ändert sich seine Masse um Δm = ΔE/c². Seine Ruheenergie ist E₀ = m c². Wird etwa die innere Energie eines Objekts durch Erwärmen oder das Aufladen einer Batterie erhöht, wächst dessen Masse; die Massen der Atome als Bestandteile bleiben dabei unverändert. Die Masse eines zusammengesetzten Systems ist daher nicht einfach die Summe der Massen seiner Bestandteile. Bei radioaktivem Zerfall oder Kernspaltung haben die Tochterteilchen zusammen weniger Masse als der Ausgangskern, weil Ruheenergie in Bewegungsenergie und gegebenenfalls Strahlung umgewandelt wird.

Die ältere Vorstellung einer mit der Geschwindigkeit zunehmenden „relativistischen Masse“ setzt Masse mit der gesamten, auch kinetischen Energie gleich. Sie wurde 1904 von Lorentz eingeführt, hat methodische Schwächen und wird in heutiger Fachsprache vermieden.

Raumzeit und beobachtbare Folgen

Die SRT fasst die drei Raumdimensionen und die mit c skalierte Zeit zu einer vierdimensionalen Raumzeit, dem Minkowski-Raum, zusammen. Ereignisse sind darin Punkte. Orts- und Zeitkoordinaten hängen vom Bezugssystem ab, der raumzeitliche Abstand bleibt dagegen invariant: √((cΔt)²−(Δ⃗x)²), mit auch verwendeter umgekehrter Vorzeichenkonvention. Er ist zeitartig bei |Δ⃗x| < cΔt und erlaubt einen kausalen Zusammenhang, raumartig bei |Δ⃗x| > cΔt und erlaubt keinen solchen Zusammenhang oder lichtartig bei |Δ⃗x| = cΔt.

Beim Wechsel des Bezugssystems werden Orts- und Zeitachsen gegeneinander gekippt. Bei Relativgeschwindigkeiten nahe c nähern sie sich den Diagonalen bei 45°, erreichen oder überqueren diese aber nicht. Raum und Zeit bilden somit eine Einheit. Analog werden Impuls und Energie zum Viererimpuls („Impenergie“) zusammengefasst; auch elektrische und magnetische Felder hängen miteinander zusammen.

Die Aberration des Lichts beschreibt, dass sich der Einfallswinkel eines Lichtstrahls für bewegte Beobachter verändert. Die relativistische Geschwindigkeitsaddition und die Relativität der Gleichzeitigkeit erklären dies sowohl für Licht als Welle als auch als Teilchen.

Beim Dopplereffekt ändert sich die gemessene Frequenz. Für Licht im Vakuum hängt er nur von der Relativgeschwindigkeit von Quelle und Empfänger ab, nicht davon, welche von beiden sich bewegt. Eine Quelle, die einen Beobachter umkreist, besitzt keine Bewegung auf ihn zu oder von ihm weg; dennoch misst der Beobachter wegen der Zeitdilatation eine niedrigere Frequenz. Dies ist die transversale Rotverschiebung beziehungsweise der transversale Doppler-Effekt. In Medien, in denen Licht langsamer als im Vakuum ist, gibt es mit dem Tscherenkow-Effekt ein dem Überschallknall ähnliches Phänomen.

Die Lorentzkraft zeigt, dass elektrische und magnetische Felder je nach Bezugssystem teilweise ineinander übergehen. Bei einer bewegten negativen Probeladung neben einem stromführenden, insgesamt neutralen Draht erklärt ein ruhendes Drahtsystem die Anziehung magnetisch. Im mit der Probeladung bewegten System ist die Ladung in Ruhe; die Lorentz-Kontraktion des positiv geladenen Grundmaterials erhöht aber dessen Ladungsdichte. Dadurch entsteht ein positiver Überschuss und eine elektrostatische Anziehung. Beide Beschreibungen sagen dieselbe Kraft voraus.

Beziehung zu anderen Theorien

Für Geschwindigkeiten, die viel kleiner als c sind, gehen Lorentz-Transformationen in Galilei-Transformationen über. Damit liefert die SRT für Impuls, kinetische Energie und weitere Größen die bekannten Ergebnisse der klassischen Mechanik. Dass eine neue Theorie die bestätigten Vorhersagen einer älteren Theorie in deren Gültigkeitsbereich enthalten muss, heißt Korrespondenzprinzip. Im Unterricht gilt 0,1c als Faustregel: Bis zu 10 % der Lichtgeschwindigkeit ist klassische Rechnung oft akzeptabel, doch entscheidet die konkrete Aufgabe.

Die SRT gilt in Bereichen, in denen Gravitation vernachlässigbar ist, auch für beschleunigte Bewegungen. Bei Gravitation wird sie durch die allgemeine Relativitätstheorie ersetzt. Diese beschreibt eine gekrümmte Raumzeit und ist streng lokal zu formulieren; nahe großer Massen oder Energien ist die SRT deshalb nur für kleine Distanzen gültig. Eine solche Grenze zeigt sich in der Shapiro-Verzögerung.

Speziell-relativistische Quantentheorien sind Standardwerkzeuge der modernen Physik. Die Einbeziehung der SRT erklärt bereits im Bohr-Sommerfeldschen Atommodell die Feinstruktur von Energieniveaus. Die Dirac-Gleichung beschreibt Elektronen relativistisch, erklärt den Spin und sagte das Positron als Antiteilchen voraus. Weil Teilchen und Antiteilchen erzeugt oder vernichtet werden können, braucht man relativistische Quantenfeldtheorien mit veränderlicher Teilchenzahl, etwa Quantenelektrodynamik und Quantenchromodynamik. Sie bilden im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine Grundlage und werden an Teilchenbeschleunigern präzise getestet.

Die meisten Äthertheorien sind mit der SRT unvereinbar und durch ihre experimentellen Bestätigungen widerlegt. Die lorentzsche Äthertheorie von Hendrik Antoon Lorentz und Henri Poincaré sagt zwar dasselbe wie die SRT voraus, postuliert aber ein unbeobachtbares absolut ruhendes Bezugssystem. Sie gilt als veraltet; zudem ist ihre Vereinbarkeit mit der allgemeinen Relativitätstheorie ungeklärt.