Hookesches Gesetz

Grundidee und Bedeutung

Das hookesche Gesetz ist das Materialmodell für die lineare elastische Verformung von Festkörpern. Es beschreibt also den Bereich, in dem die Verformung proportional zur Belastung ist und der Körper nach Wegfall der Kraft in seine ursprüngliche Form zurückkehrt. Dieses Verhalten heißt linear-elastisch.

Im einfachsten Fall, etwa bei einer Feder, gilt: Verdoppelt man die Kraft, verdoppelt sich auch die Auslenkung. Bei Festkörpern wie Metall, Beton oder Keramik gilt das nur innerhalb der Elastizitätsgrenze. Wird diese Grenze überschritten, können plastische Verformung, Bruch oder anderes Materialversagen auftreten. Deshalb ist das hookesche Gesetz besonders wichtig in Festigkeitslehre, Maschinenbau, Bauwesen, Strukturmechanik und linear-elastischer Bruchmechanik.

Robert Hooke veröffentlichte die Grundidee 1676 zunächst als Anagramm „ceiiinosssttuv“ und löste sie 1678 als „Ut tensio sic vis“ auf: Die Kraft einer Feder verhält sich wie ihre Auslenkung. Die moderne Formulierung mit mechanischer Spannung, Dehnung und Elastizitätsmodul entstand erst später.

Eindimensionale Form

Im eindimensionalen Fall wird ein schlanker, homogener Stab mit Anfangslänge l₀ und Querschnittsfläche A durch eine Kraft F entlang seiner Achse belastet. Die mechanische Spannung ist

σ = F/A.

Die axiale Dehnung beschreibt die relative Längenänderung:

ε = (ℓ − l₀)/l₀ = Δl/l₀.

Im linear-elastischen Bereich gilt dann

E = σ/ε → σ = E·ε.

E ist der Elastizitätsmodul. Je größer E ist, desto kleiner ist bei gleicher Spannung die relative Längenänderung. Setzt man σ = F/A und ε = Δl/l₀ ein, erhält man die Federform

F = (E·A/l₀)·Δl = D·Δl.

Dabei ist D die Federsteifigkeit. Für eine Feder schreibt man meist direkt

F = D·Δl beziehungsweise Δl = F/D.

Diese einfache Form gilt bei schlanken Stäben nur für kleine Dehnungen, im Artikel mit <3−8 % angegeben. Bei größeren Dehnungen werden geometrisch nicht-lineare Effekte wichtig, zum Beispiel die Änderung der Querschnittsfläche.

Allgemeine Tensorform

Für allgemeine Belastungen genügt eine eindimensionale Gleichung nicht. Dann wird das hookesche Gesetz als lineare Tensorgleichung geschrieben:

σ = ℂ ε beziehungsweise kartesisch σᵢⱼ = Cᵢⱼₖₗ εₖₗ.

σ ist der Spannungstensor, ε der Verzerrungstensor und ℂ der Elastizitätstensor. Der Elastizitätstensor beschreibt die elastischen Eigenschaften des Materials. Zunächst hat er 81 Komponenten Cᵢⱼₖₗ. Weil Spannungs- und Verzerrungstensor symmetrisch sind, reduziert sich die Zahl auf 36. Aus thermodynamischen Überlegungen folgt zusätzlich Cᵢⱼₖₗ = Cₖₗᵢⱼ, sodass höchstens 21 unabhängige Konstanten bleiben.

Zur einfacheren Rechnung nutzt man häufig die Voigtsche Notation. Dabei werden die Tensor-Komponenten nach dem Schema 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 31 → 5, 12 → 6 in sechskomponentige Spaltenvektoren überführt. Die elastischen Konstanten stehen dann in einer symmetrischen 6×6-Matrix. Für die Scheranteile werden die Verzerrungseinträge als Gleitungen geschrieben: ε₄ = 2ε₂₃, ε₅ = 2ε₃₁, ε₆ = 2ε₁₂.

Je nach Materialsymmetrie braucht man verschieden viele Konstanten. Isotrope Materialien benötigen zwei Konstanten, trikline anisotrope Materialien bis zu 21, monokline 13, orthotrope neun, kubische Varianten drei, transversale Isotropie fünf.

Isotrope Materialien und Versuche

Isotrop bedeutet, dass ein Material in alle Richtungen gleiche elastische Eigenschaften besitzt. Für isotrope linear-elastische Medien reichen zwei Materialkonstanten. Häufig verwendet man die Lamé-Konstanten λ und μ oder die Ingenieurskonstanten Elastizitätsmodul E und Poissonzahl ν. Dabei gilt

λ = Eν/((1+ν)(1−2ν)), μ = E/(2(1+ν)).

In der Technischen Mechanik ist μ zugleich der Schubmodul G. Der Kompressionsmodul K ergibt sich bei allseitigem Druck zu

K = E/(3(1−2ν)).

Materialversuche dienen dazu, diese Konstanten zu bestimmen. Im Zugversuch wirkt nur eine Normalspannung in Zugrichtung. Dann gilt ε₁ = σ₁/E, während die Querdehnungen ε₂ und ε₃ gleich −ν·ε₁ sind. Bei Torsion eines Kreiszylinders tritt reine Scherung auf, und es gilt σ₆ = G·ε₆ mit G = E/(2(1+ν)). Bei allseitigem Druck sind die Normalspannungen σ₁, σ₂, σ₃ gleich −p; daraus folgt −p = K·εᵥ, wobei εᵥ die Volumendehnung ist.

Damit das Material physikalisch sinnvoll beschrieben wird, muss die Formänderungsenergie bei Deformationen positiv sein. Daraus folgen E > 0, G > 0 und K > 0. Für die Poissonzahl ergibt sich

−1 < ν < 1/2.

Bei Inkompressibilität gilt ν = 1/2; dann ist die Volumendehnung immer null und der Druck ergibt sich aus der Nebenbedingung der Inkompressibilität, nicht aus einer gewöhnlichen Materialgleichung.

Energie, Grenzen und Spezialfälle

Die Formänderungsenergie ist die in einem elastisch verformten Körper gespeicherte Energie. Für eine Feder mit Auslenkung x und Federsteifigkeit D gilt

W = D/2 · x².

Die Rückstellkraft ist Fᵣ = −D·x. Da die gespeicherte Arbeit nach Entlastung vollständig zurückgewonnen wird, ist die Rückstellkraft konservativ. Das Potenzial ist harmonisch, also proportional zu x².

In der Kontinuumsmechanik wird das hookesche Gesetz oft koordinatenunabhängig formuliert. Für lineare isotrope Elastizität gilt beispielsweise

σ = 2μ ε + λ Sp(ε) 1.

Sp(ε) ist die Spur des Verzerrungstensors, also die Summe seiner Diagonalelemente; 1 ist der Einheitstensor. Gleichwertige Formulierungen nutzen G, K, E und ν. Die Formänderungsenergie kann als w = 1/2 σ:ε geschrieben werden, wobei „:“ das Frobenius-Skalarprodukt bezeichnet. Aus dieser Energie erhält man die Materialantwort durch Ableitung nach der Verzerrung; das hookesche Gesetz beschreibt damit ein lineares hyperelastisches Material.

Das hookesche Gesetz hat klare Grenzen. Es gilt nur innerhalb der Elastizitätsgrenze, solange Federn nicht überdehnt werden und das Material weder plastisch fließt noch bricht. Die Elastizitätsgrenze von Stählen und die Bruchdehnung von Keramiken liegen unterhalb von 1 % Dehnung. Geschwindigkeitsabhängiges Verhalten wie Kriechen wird nicht abgebildet, kann aber bei genügend langsamer Verformung vernachlässigt werden. Die klassische Theorie gilt nur für Verzerrungen, die klein gegen eins sind, im Artikel mit <3−8 % angegeben.

Für ebene Probleme unterscheidet man den ebenen Spannungszustand und den ebenen Verzerrungszustand. Beim ebenen Spannungszustand werden Spannungskomponenten senkrecht zur betrachteten Ebene vernachlässigt, etwa bei Scheiben. Beim ebenen Verzerrungszustand werden Verzerrungskomponenten senkrecht zur Ebene vernachlässigt, etwa bei weit ausgedehnten Platten mit gleichbleibender Belastung. Für große Deformationen muss das Materialmodell objektiv in lagrangescher Betrachtungsweise formuliert werden, etwa mit dem zweiten Piola-Kirchhoff’schen Spannungstensor und dem Green’schen Verzerrungstensor; bei Linearisierung geht es wieder in das klassische hookesche Gesetz über.