Effektiver Jahreszins

Definition und Aussagekraft

Der effektive Jahreszinssatz ist eine betriebswirtschaftliche Kennzahl des Finanzwesens. Er beziffert die jährlichen Finanzierungskosten eines Kredits, bezogen auf die nominale Kredithöhe, und wird als Prozentsatz der Auszahlung angegeben. Können sich der Zinssatz oder andere preisbestimmende Faktoren während der Laufzeit ändern, spricht man vom anfänglichen effektiven Jahreszins.

Der Effektivzinssatz wird insbesondere durch Nominalzinssatz, Auszahlungskurs beziehungsweise Disagio, Tilgung und Zinsbindungsfrist bestimmt. Im Gegensatz zum Nominalzinssatz berücksichtigt er weitere preisbestimmende Faktoren des regelmäßigen Kreditverlaufs: Bearbeitungsgebühren, Auszahlungskurs, Tilgungssatz sowie Tilgungsbeginn und -höhe und die Termine der Zins- und Tilgungsverrechnung.

Mit dem Effektivzinssatz können Kreditangebote grundsätzlich nur bei gleicher Laufzeit verglichen werden. Unterschiedliche Gestaltungen, etwa Tilgungsfreijahre, Tilgungsersatz, Art der Tilgungsverrechnung, Bearbeitungsgebühren oder Darlehensgebühren, dürfen zwischen Angeboten verschieden sein, wenn sie rechnerisch korrekt einbezogen wurden. Nicht enthalten sind Schätzungsgebühren wie Tax- oder Wertermittlungsgebühren, Bereitstellungszinsen, Teilauszahlungszuschläge, Notargebühren und Kontoführungsgebühren.

Universelle finanzmathematische Verfahren der Rentenrechnung bestimmen aus allen Einzahlungen und Auszahlungen unabhängig von deren Art und Bezeichnung einen Vergleichszinssatz. Sie eignen sich auch zur nachträglichen Bewertung sehr unterschiedlich gestalteter Kredite und Anlagen. Der so bestimmte Effektivzinssatz erfasst jedoch nur einen Aspekt; Risiko, Sicherheit und Preisentwicklung müssen zusätzlich bewertet werden.

Gesetzliche Berechnung und Näherungsverfahren

Nach der Anlage zu § 16 der Preisangabenverordnung (PAngV) sind die Gesamtkosten eines Kredits als jährlicher Prozentsatz des Kredits anzugeben und als effektiver Jahreszins zu bezeichnen. Das heute vorgeschriebene Verfahren entspricht dem internen Zinsfuß. Es wurde in Deutschland im Jahr 2000 auf Druck des EU-Ministerrats für Verbraucherfragen (1996) eingeführt. Bei Verbraucherdarlehen gehört die Angabe gemäß § 492 Abs. 2 BGB in Verbindung mit Art. 247 § 3 Abs. 1 Nr. 3 EGBGB zwingend zum Vertrag. Ist der effektive Jahreszins zu niedrig angegeben, vermindert sich nach § 494 Abs. 3 BGB der Sollzinssatz um den Prozentsatz der Abweichung.

Die PAngV-Gleichung lautet: Σ(k=1 bis m) C_k(1+X)^(-t_k) = Σ(l=1 bis m') D_l(1+X)^(-s_l).

Dabei ist X der effektive Jahreszins. C_k bezeichnet den k-ten Auszahlungsbetrag, t_k den Zeitraum in Jahren oder Jahresbruchteilen zwischen der ersten Darlehensvergabe und dieser Auszahlung, wobei t_1 = 0 gilt. D_l ist die jeweilige Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung; s_l bezeichnet den Zeitraum zwischen der ersten Auszahlung und dieser Zahlung. m und m' geben jeweils die Nummer des letzten Auszahlungs- beziehungsweise Zahlungsbetrags an. Zugrunde gelegt werden 365 Zinstage, in einem Schaltjahr 366 Tage, 52 Wochen oder 12 Standardmonate. Ein Standardmonat umfasst 30,41666 Tage beziehungsweise 365/12 Tage.

Die Uniform-Methode liefert eine schnelle, überschlägige Schätzung: Effektiver Jahreszinssatz = (Kreditkosten / Nettodarlehensbetrag) · 24/(Laufzeit in Monaten + 1).

Kreditkosten sind gesamte Rückzahlung minus Auszahlungsbetrag beziehungsweise Anzahl der Raten mal Ratenbetrag minus Auszahlungsbetrag. Dazu gehören Bearbeitungsgebühr, Zinsen und gegebenenfalls eine verpflichtend enthaltene Restschuld- oder Kreditlebensversicherung. Der Nettodarlehensbetrag ist Darlehensnennbetrag minus Kreditkosten. Rechtlich maßgeblich und von Finanzdienstleistern auszuweisen bleibt die genauere Berechnung nach der PAngV.

Typische Berechnungen

Beispiel eines Ratenkredits: Bei einem Verbraucherkredit von 10.000,00 EUR, 0,5 % Zinsen pro Monat, 60 Monaten Laufzeit und 3 % Bearbeitungsgebühr betragen die Zinsen 3.000,00 EUR und die Bearbeitungsgebühr 300,00 EUR. Die Kreditkosten betragen somit 3.300,00 EUR. Bei monatlicher Zahlung ergibt sich eine Rate von 3.300 EUR/60 + 10.000 EUR/60 = 55 EUR + 166,67 EUR = 221,67 EUR. Die Uniform-Methode ergibt: 3.300,00/10.000,00 · 24/(60+1) = 12,9836 %.

Nach der Rentenmethode beträgt der effektive Jahreszins in diesem Beispiel 12,5115 %. Die Uniform-Methode liefert bei kurzen Laufzeiten einen niedrigeren, bei langen Laufzeiten einen höheren Zins als die Rentenmethode.

Bei endfälligen Anleihen mit Zinseszins berechnet sich der effektive Jahreszinssatz aus dem geometrischen Mittel der jährlichen Zinsfaktoren: Effektiver Jahreszinssatz = (∏(1 + Zinssatz_i))^(1/Laufzeit) − 1.

Eine dreijährige Anleihe mit 1,5 % im ersten, 2 % im zweiten und 3 % im dritten Jahr hat danach einen effektiven Jahreszinssatz von 2,165 %. Eine Näherungsformel berücksichtigt außerdem Nennwert, Kaufkurs sowie Agio oder Disagio: Rendite p. a. ≈ Zinssatz p. a. · Nennwert/Kaufkurs ± Agio bzw. Disagio/Laufzeit. Diese Näherung ist bei kleinen Werten für Laufzeit und Agio beziehungsweise Disagio brauchbar, kann bei großen Werten aber deutlich versagen. Eine präzisere Formel nimmt Nennwert/Kaufkurs als weiteren Zinsfaktor in das geometrische Mittel auf.

Bei Krediten mit festen monatlichen Raten ist der nominelle Jahreszinssatz genaugenommen das Zwölffache des effektiven Monatszinssatzes beziehungsweise relativen Periodenzinssatzes. Da monatlich saldiert und der Zinseszinseffekt bereits nach dem ersten Monat wirksam wird, liegt der effektive Jahreszinssatz unter diesen Bedingungen stets über dem nominellen Zinssatz. Er hängt zusätzlich von der Tilgungsgeschwindigkeit ab, also vom Verhältnis der Rate R zur Ausgangsschuld G_0. Für einen nominellen Zinssatz von 10 % und eine innerhalb eines Jahres monatlich getilgte Schuld von 100 EUR ergibt sich ein effektiver Jahreszins von 10,65 %. Wird die Schuld bei gleichem Bankzinssatz nur gehalten, sind es 10,48 %.

Baukredite und Disagio

Seit dem 11. Juni 2010 gelten aufgrund einer neuen Verbraucherkreditrichtlinie besondere Regelungen für Immobiliendarlehen. Läuft ein Kredit nach Ende der Zinsbindung variabel weiter, wenn keine neue Zinsfestschreibung vereinbart wird, muss die Bank für die Restlaufzeit ihren aktuellen Zinssatz für variabel verzinsliche Darlehen zugrunde legen. Dieser liegt im Allgemeinen unter dem Zinssatz während der Zinsbindungszeit. Deshalb kann sich bei Baukrediten ein Effektivzins ergeben, der unter dem Sollzins liegt.

Ein Disagio ist ein Abschlag auf den Nennwert beziehungsweise ein vorab geleisteter Zins. Dadurch wird weniger als der Nennbetrag ausgezahlt. Der Effektivzinssatz macht ein solches Darlehen mit einem Darlehen voller Auszahlung und anderem Nominalzinssatz vergleichbar. Je nach Interpretation des Disagios gibt es verschiedene Berechnungsansätze, die nicht zwingend dasselbe Ergebnis liefern. Der PAngV-Ansatz verlangt, dass die Zahlungsströme des Nominalzinssatzes, etwa Annuität und Restschuld, dem Endwert beim Effektivzinssatz entsprechen. Der Effektivzinssatz fällt bei Disagio höher aus als der Nominalzinssatz.

Für ein Darlehen von 1 Geldeinheit mit n Zinsperioden, Nominalzinssatz r_nom und Disagiosatz d gilt: d = 0,1 bedeutet eine Auszahlung von 90 % des Kapitals; d = 0 bedeutet kein Disagio. Der Disagiosatz liegt zwischen einschließlich 0 und ausschließlich 1.

Bei endfälliger Tilgung werden während der Laufzeit nur Zinsen gezahlt, die Tilgung erfolgt am Ende. Es gilt: nr_nom + d = (1−d)nr_eff, also r_eff = (r_nom + d/n)/(1−d). Bei d = 0,05, r_nom = 0,1 und n = 5 ergibt sich r_eff = 0,1158 beziehungsweise 11,58 %.

Bei Tilgung in periodisch gleichen Raten beträgt die mittlere Laufzeit (n+1)/2. Mit Z_nom = ((n+1)/2)r_nom und Z_nom + d = Z_eff folgt: r_eff = 2(Z_nom+d)/((1−d)(n+1)). Für d = 0,05, r_nom = 0,1 und n = 5 ergibt sich 12,28 %. Bei k tilgungsfreien Perioden lautet die entsprechende Formel: r_eff = 2(Z_nom+d)/((1−d)(n+k+1)). Für d = 0,05, r_nom = 0,1, n = 5 und k = 2 ergibt sich 11,84 %. Für k = 0 entspricht dieser Fall der Tilgung in periodisch gleichen Raten.

Annuitätendarlehen und Begriffsabgrenzung

Ein Annuitätendarlehen ist ein Darlehen mit einer während der vereinbarten Zinsbindungsdauer konstanten periodischen Rate aus Zins und Tilgung t. Die Zinsbindungsdauer n kann von der Tilgungsdauer N abweichen, die für die vollständige Rückzahlung erforderlich ist.

Zunächst wird die Restschuld R am Ende der Zinsbindungsdauer berechnet: R = (1+r_nom)^n − (r_nom+t)((1+r_nom)^n−1)/r_nom = 1 − t((1+r_nom)^n−1)/r_nom.

Die Äquivalenzgleichung für den Effektivzinssatz lautet: (1−d)(1+r_eff)^n = (r_nom+t)((1+r_eff)^n−1)/r_eff + R.

Der gesuchte Zinssatz ist derjenige, bei dem der Endwert der Auszahlung abzüglich der Restschuld dem Endwert der aufgezinsten Annuitäten entspricht. Die Gleichung ist insbesondere bei größerem n nicht immer direkt lösbar. Daher kann eine Fixpunktiteration verwendet werden: r_(i+1) = F(r_i) = ((r_nom+t)/(1−d)) · ((1+r_i)^n−1)/((1+r_i)^n−R/(1−d)). Unter den im Artikel untersuchten Bedingungen wird ein geeignetes Intervall in sich abgebildet; daraus folgt die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunkts. Für d = 0,06, r_nom = 0,1, t = 0,02 und n = 7 ergibt sich beispielsweise r_eff = 0,1137 beziehungsweise 11,37 %.

Rendite, Rentabilität und Effektivzins beziehen sich auf unterschiedliche Größen. Die Rendite betrifft Finanzinstrumente wie Aktien, Anleihen und Investmentzertifikate sowie Tagesgeld, befristete Einlagen und Spareinlagen. Die Rentabilität bezieht sich auf Unternehmensdaten wie Umsatzerlöse, Eigenkapital und Fremdkapital. Der Effektivzins wird bei Darlehen und Krediten verwendet. Der Effektivzins nach der Anlage zu § 16 PAngV rechnet mit 365 Zinstagen; die übrigen Kennzahlen verwenden 360 Zinstage.