Interner Zinsfuß

Grundidee und Bedeutung

Der interne Zinsfuß (IZF), auch interner Zinssatz oder englisch internal rate of return (IRR), ist der Kalkulationszinssatz einer Investition, bei dem ihr Kapitalwert (KW) genau null beträgt. Anders ausgedrückt entsprechen bei diesem Zinssatz die abgezinsten künftigen Zahlungen dem heutigen Preis beziehungsweise der Anfangsinvestition.

Ist der IZF größer als der verwendete Kalkulationszinsfuß, gilt die Investition über die gesamte Laufzeit hinweg als wirtschaftlich. Die Interner-Zinsfuß-Methode (IZM) ist ein Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung. Sie berechnet für Investitionen oder Kapitalanlagen mit unregelmäßigen und schwankenden Erträgen eine theoretische mittlere jährliche Rendite. Ursprünglich sollte sie Unternehmen dabei unterstützen, die für das Gesamtsystem der Unternehmung vorteilhafteste Investitionsentscheidung zu bestimmen.

Berechnung des internen Zinsfußes

Gesucht wird der Zinssatz i, für den gilt:

KW = −I + Σ(t=1 bis T) Cₜ / (1+i)ᵗ = 0.

Dabei ist I die Investition, Cₜ der Cashflow beziehungsweise die Zahlung zum Zeitpunkt t und T die Laufzeit. Die Investition wird also der Summe aller abgezinsten Zahlungsströme gegenübergestellt.

In der Praxis wird der IZF meist durch Interpolation angenähert:

• Zunächst wird ein Zinssatz i₁ geschätzt und der dazugehörige Kapitalwert KW₁ berechnet.
• Ist KW₁ > 0, wird ein höherer Zinssatz i₂ > i₁ gewählt. Ist KW₁ < 0, wird ein niedrigerer Zinssatz i₂ < i₁ gewählt. Der zweite Kapitalwert KW₂ muss dann das entgegengesetzte Vorzeichen haben.
• Aus den beiden Zinssätzen und Kapitalwerten wird der Schnittpunkt einer Geraden mit der x-Achse berechnet: i* = i₁ − [KW₁/(KW₂−KW₁)] · (i₂−i₁).
• Mit i* wird ein weiterer Kapitalwert KW₃ bestimmt. Ist dieser nicht hinreichend nahe bei null, wird die Interpolation wiederholt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Je näher die Versuchszinssätze i₁ und i₂ beieinanderliegen, desto kleiner ist der Interpolationsfehler. Neben der Regula falsi für geometrische Reihen wird auch das Newton-Verfahren verwendet. Tabellenkalkulationsprogramme wie Microsoft Excel bieten mit dem Solver beziehungsweise der „Zielwertsuche“ Unterstützung bei der Nullstellenberechnung. In OpenOffice.org Calc und MS Excel lässt sich die Regula-falsi-Formel mit der IKV-Funktion (Interne-Kapitalverzinsungs-Funktion) verwenden.

Mehrdeutige Ergebnisse

Die Methode ist problematisch, wenn die Zahlungsreihe mehr als einen Vorzeichenwechsel enthält. Dann können mehrere Nullstellen und damit mehrere interne Zinsfüße existieren. Ein Beispiel ist eine Investition von I = 10, auf die nach einem Jahr ein Rückfluss von C₁ = 21 und nach zwei Jahren Rückbaukosten von C₂ = −11 folgen. Die korrekten Lösungen sind 0 % und 10 %.

Ein weiteres Beispiel entsteht durch zeitlich verschobene Steuerzahlungen. Ein Projekt benötigt eine Investition von 2.000.000 € und erwirtschaftet während einer Laufzeit von fünf Jahren zusätzlich 600.000 € Gewinn pro Jahr. Der Steuersatz beträgt 50 %, die Steuer wird jeweils in der Folgeperiode gezahlt. Die in der Zahlungsreihe angegebenen Netto-Cashflows lauten:

• C₀ = −2.000
• C₁ = +1.600
• C₂ bis C₅ jeweils +300
• C₆ = −300.

Der Betrag von 1.000 in C₁ entsteht dadurch, dass die Investition in C₀ die Steuerlast dieser Periode um 1.000.000 € verringert. Die Berechnung liefert zwei interne Zinsfüße von −50 % und 15,2 %. Für beide Zinssätze ist die Bedingung KW = 0 erfüllt; der angegebene Kapitalwert bei 10 % beträgt 149,71 beziehungsweise 149.710 €.

Die Ursache ist, dass es sich nicht um eine Normalinvestition mit höchstens einem Vorzeichenwechsel handelt. Nach der Vorzeichenregel von Descartes kann eine Polynomgleichung so viele positive Nullstellen haben wie Vorzeichenwechsel. Im Beispiel führen zwei Vorzeichenwechsel zu einem mathematisch richtigen, aber nicht eindeutigen Ergebnis. Solche Zahlungsreihen können auch durch Wartungskosten während der Laufzeit oder Verschrottungskosten am Ende eines Projekts entstehen.

Als mögliche Umgehung eines abschließenden zweiten Vorzeichenwechsels kann der Cashflow des sechsten Jahres im fünften Jahr berücksichtigt und der IZF anschließend erneut berechnet werden. Dadurch wird das Ergebnis jedoch verfälscht: Der Kapitalwert der ursprünglichen Zahlungsreihe bleibt bei diesem Zinssatz positiv.

Grenzen bei Kredit- und Projektentscheidungen

Bei der Gegenüberstellung einer Kreditgewährung und einer Kreditaufnahme kann die IZF-Methode zu einer falschen Gleichbewertung führen. Projekt A hat I = −2.000 und C₁ = +3.000, Projekt B dagegen I = +2.000 und C₁ = −3.000. Beide weisen rechnerisch einen IZF von +50 % auf, denn −2.000 + 3.000/1,50 = 0 beziehungsweise +2.000 − 3.000/1,50 = 0. Bei einem Kalkulationszins von 10 % beträgt der KW bei A jedoch +727 und bei B −727.

In Wirklichkeit verleiht Projekt A anfangs Geld zu 50 %, während Projekt B Geld zu 50 % aufnimmt. Bei einer Kreditaufnahme ist ein niedriger Zinssatz vorteilhaft. Der IZF sollte dann unter den Opportunitätskosten liegen und nicht darüber. Der IZF allein kann diese unterschiedliche wirtschaftliche Bedeutung nicht angemessen abbilden.

Auch bei sich gegenseitig ausschließenden Projekten kann die Methode irreführen. Projekt C erfordert C₀ = −20.000 und liefert C₁ = +40.000. Sein IZF beträgt 100 %, der KW bei 10 % +16.363. Projekt D erfordert −40.000 und liefert +70.000; sein IZF beträgt 75 %, der KW aber +23.636. Nach der IZF-Regel wäre C vorzuziehen, nach dem höheren Kapitalwert dagegen D.

Die IZF-Methode kann hier dennoch verwendet werden, wenn die inkrementellen Zahlungsströme, also die Differenz zwischen den Projekten, betrachtet werden. Der inkrementelle IZF beträgt 50 %. Weil er über dem Kalkulationszins von 10 % liegt, ist das größere Projekt D vorzuziehen. Damit führt die inkrementelle Betrachtung zum gleichen Ergebnis wie die Kapitalwertmethode.

Zinsstruktur und Wiederanlageannahme

Die IZF-Methode verwendet nur einen Zinssatz und nimmt daher an, dass kurz- und langfristige Zinssätze identisch sind. In der Realität unterscheiden sich Zinssätze jedoch häufig nach der Fristigkeit. Kurze Kredite sind in der Regel günstiger als langfristige Kredite. Eine inverse Zinsstruktur, bei der kurze Laufzeiten höhere Zinssätze aufweisen, wurde beispielsweise Anfang der 1990er Jahre beobachtet.

Die Kapitalwertmethode kann unterschiedliche Zinssätze unmittelbar berücksichtigen, etwa durch:

KW = C₀ + C₁/(1+i₁) + C₂/(1+i₂)² + … .

Alternativ kann ein gewichteter Durchschnitt der Zinsen über die Laufzeit verwendet werden. Kritiker sehen darin allerdings eine unnötige Erhöhung der Komplexität, wenn eine einfache Lösung möglich ist. In der Praxis wird die Zinsstrukturproblematik meist vernachlässigt. Der Kalkulationszins ist außerdem nicht nur ein Finanzierungszins, sondern eine geforderte Mindestverzinsung. Er kann an die Laufzeit angepasst werden; erwartete Änderungen des Zinsniveaus lassen sich etwa mit KW = C₀ + C₁/(1+i₁) + C₂/[(1+i₁)(1+i₂)] + … berücksichtigen.

Fazit und praktische Varianten

Der IZF eignet sich nicht zuverlässig zum Vergleich mehrerer Investitionen unterschiedlicher Höhe, Dauer oder Investitionszeitpunkte. Ein Projekt mit höherem IZF kann einen geringeren Kapitalwert besitzen als ein Projekt mit niedrigerem IZF. Bei Finanzinvestitionen entspricht der IZF dem Effektivzins; bei Sachinvestitionen ist er nur ein theoretischer Grenzzinssatz, bis zu dem die Investition wirtschaftlich wäre.

Die Methode setzt außerdem voraus, dass sämtliche Kapitalrückflüsse zum internen Zinssatz wiederangelegt werden. Diese Wiederanlageprämisse gilt in der Praxis überwiegend als unrealistisch, weil die Rückflüsse auch zum Marktzinssatz angelegt werden könnten. Eine Investition kann isoliert durchführbar sein, wenn das in ihr gebundene Kapital bei Verwendung des IZF zu keinem Zeitpunkt negativ ist. Es gilt KB₀ = I₀ sowie KBₜ₋₁(IZF) ≮ 0 für alle t. Solche Investitionen werden auch „reine Investitionen“ oder „pure investments“ genannt. Selbst dann erlaubt die IZM nur die Beurteilung der absoluten, nicht der relativen Vorteilhaftigkeit.

Der IZF beschreibt keine reale Verzinsung und keine endwertbezogene Rentabilität, da er zu einem Endwert von null führt. Er ist ein Grenzzinssatz, den die Investition höchstens als Kapitalentgelt bedienen kann, und betrachtet das Investitionsobjekt damit gewissermaßen im Sinne einer Worst-case-Analyse. Modifikationen können brauchbare Ergebnisse liefern, laufen aber im Ergebnis meist auf einen Vergleich mit einem Referenzzinssatz und damit auf die Kapitalwertmethode hinaus. Bei einer isoliert durchführbaren Maßnahme ist der IZF außerdem der Zinssatz, bei dem dynamische Amortisationsdauer und Nutzungsdauer identisch sind. Deshalb kann die IZM ergänzend zur Kapitalwertmethode Informationen über die zeitliche Struktur der Rückflüsse liefern; einige Autoren lehnen das Konzept dennoch entschieden ab.

In der Praxis gibt es verschiedene Varianten, je nachdem, ob unterjährig linear oder exponentiell verzinst wird:

• Bei der Umrechnung einer Periodenrendite in eine Jahresrendite verwenden ISMA und Moosmüller exponentielle Verzinsung, SIA und Treasury unterjährig lineare Verzinsung.
• Bei der Diskontierung der ersten vollständigen Kuponperiode rechnen ISMA und SIA exponentiell, Treasury und Moosmüller linear.
• Bei Restlaufzeiten unter einem Jahr verwenden ISMA, SIA und Moosmüller exponentielle, Treasury dagegen lineare Verzinsung.

ISMA steht für International Securities Market Association, heute ICMA (International Capital Market Association); SIA steht für Securities Industries Association.