Dreiteilung des Winkels

Kernproblem und klassische Regeln

Die Dreiteilung des Winkels, auch Trisektion des Winkels, fragt, ob ein beliebiger gegebener Winkel mit Zirkel und unmarkiertem Lineal in drei gleich große Winkel geteilt werden kann. Sie gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik. Nach der klassischen Vorgabe zählen nur Konstruktionen mit Zirkel und nichtskaliertem Lineal in endlich vielen Schritten.

Das Ergebnis ist: Eine allgemeine Dreiteilung beliebiger Winkel ist mit diesen euklidischen Werkzeugen nicht möglich. Es gibt aber besondere Winkel, die drittelbar sind. Beispielsweise ist jeder ganzzahlige Vielfache von 9° mit Zirkel und Lineal drittelbar. Dagegen ist der konstruierbare Winkel 60° nicht mit Zirkel und Lineal drittelbar, weil 20° nicht konstruierbar ist.

Wichtig ist der Unterschied zwischen „konstruierbar“ und „drittelbar“. Ein Winkel kann als Ausgangswinkel gegeben sein, ohne selbst mit Zirkel und Lineal aus der Einheitsstrecke konstruierbar zu sein. Es gibt sogar Winkel, die nicht konstruierbar sind, aber, wenn sie gegeben sind, mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden können.

Anders als die Dreiteilung ist die Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal leicht möglich. Allgemein lässt sich ein beliebiger Winkel nur dann mit Zirkel und Lineal in n gleiche Teile teilen, wenn n eine Zweierpotenz ist, also durch fortgesetztes Halbieren erreichbar ist.

Warum die allgemeine Dreiteilung unmöglich ist

Der erste veröffentlichte Beweis der Unmöglichkeit stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. Er zeigte, dass die klassische Konstruktion auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden kann. Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl entsteht aus gegebenen Strecken durch eine Folge quadratischer Gleichungen. Deshalb haben die entscheidenden Erweiterungsgrade die Form einer Zweierpotenz.

Für die Winkeldreiteilung spielt die Formel

cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α)

eine zentrale Rolle. Wenn der Winkel 3α gegeben ist, dann ist cos(3α) bekannt. Gesucht wäre cos(α). Damit führt das geometrische Problem auf eine kubische Gleichung dritten Grades, zum Beispiel

4x³ − 3x − cos(3α) = 0.

Eine kubische Gleichung hat im Allgemeinen Grad 3. Dieser Grad ist keine Zweierpotenz. Genau daraus entsteht der Widerspruch zur Möglichkeit einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Ein konkretes Gegenbeispiel reicht aus, um zu zeigen, dass es keine allgemeine Konstruktion geben kann. Für 3α = π/3, also 60°, wäre α = π/9, also 20°. Das zugehörige Polynom kann als 8x³ − 6x − 1 = 0 betrachtet werden. Nach dem Satz über rationale Nullstellen kommen nur ±1, ±1/2, ±1/4 und ±1/8 als rationale Nullstellen infrage; keine davon ist eine Nullstelle. Das Minimalpolynom von cos(π/9) hat daher Grad 3, und 20° ist nicht konstruierbar.

Wantzels Originalbeweis gilt mathematikhistorisch als schwer verständlich und lückenhaft formuliert; Jesper Lützen stellte die Argumentation später in moderner Sprache dar und schloss Lücken. Historisch wird außerdem vermutet, dass Carl Friedrich Gauß schon früher über entsprechende Einsichten verfügte.

Drittelbare Winkel und Verallgemeinerungen

Winkel, deren Dreiteilung mit Zirkel und Lineal möglich ist, heißen drittelbare Winkel. Die Eigenschaften „konstruierbar“ und „drittelbar“ sind unabhängig voneinander. Daraus ergeben sich vier Fälle:

• Der Winkel 3α ist konstruierbar und drittelbar; dann ist α ebenfalls konstruierbar. Beispiele sind Vielfache von 9°.
• Der Winkel 3α ist konstruierbar, aber nicht drittelbar. Beispiel: 60°.
• Der Winkel 3α ist nicht konstruierbar, aber drittelbar. Im Artikel wird als Beispiel ein Winkel mit cos(3α) = 1 − (3/2)∛2 genannt.
• Der Winkel 3α ist weder konstruierbar noch drittelbar. Beispiele sind Winkel, für die cos(3α) transzendent ist.

Die Menge der drittelbaren Winkel ist abzählbar, weil der Kosinus jedes drittelbaren Winkels algebraisch ist. Die Menge der nicht drittelbaren Winkel ist dagegen überabzählbar, da es überabzählbar viele transzendente Zahlen im Intervall [−1,1] gibt. Ein zufällig gewählter Winkel ist also fast sicher nicht mit Zirkel und Lineal drittelbar. Trotzdem liegen drittelbare und nicht drittelbare Winkel in [0,2π] dicht: In jeder noch so kleinen Umgebung eines Winkels gibt es beide Arten.

Für regelmäßige Vielecke gibt es ein zusätzliches Ergebnis: Der Winkel 2π/N lässt sich genau dann in n gleiche Winkel teilen, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedener Fermatscher Primzahlen ist, die N nicht teilen. So kann zum Beispiel der Zentriwinkel π/7 eines regelmäßigen Vierzehnecks mit Zirkel und Lineal in 3, 5 und 17 gleiche Winkel geteilt werden.

Historische Entwicklung

Die Griechen erkannten das Problem im 5. Jahrhundert v. Chr. Vermutlich wurde es im Zusammenhang mit astronomischen Sehnentafeln wichtig. Sie suchten eine Lösung nur mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, fanden aber keine allgemeine Konstruktion.

Hippias von Elis fand um 422 v. Chr. eine Lösung mit einer Hilfskurve, der Trisektrix oder Quadratrix des Hippias. Diese Kurve kann Winkel sogar in n gleiche Teile teilen, ist aber kein klassisches Zirkel-Lineal-Werkzeug. Archimedes entwickelte eine pragmatische Lösung mit einer Einschiebekonstruktion, einer sogenannten Neusis. Dabei wird ein Lineal in einer Weise verwendet, die in der euklidischen Geometrie nicht erlaubt ist. Auch die archimedische Spirale wurde zur Winkelteilung untersucht.

Nikomedes konstruierte im 2. Jahrhundert v. Chr. ein Instrument, das Neusis-Konstruktionen mechanisch ausführen konnte; die entstehenden Kurven heißen Konchoiden. Pappos von Alexandria beschrieb im 4. Jahrhundert n. Chr. mehrere Verfahren, darunter eine Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal und eine Lösung mit einer Hyperbel als Trisektrix.

Im Mittelalter arbeiteten unter anderem Ahmad ibn Mûsâ und Thabit ibn Qurra mit Hyperbeln und Neusis-Konstruktionen. Al-Kaschi berechnete im 15. Jahrhundert mit einem Iterationsverfahren sehr genau sin(1°). Dabei nutzte er die Gleichung sin(3α) = 3sin(α) − 4sin³(α) und erhielt in Dezimalschreibweise sin(1°) = 0,017452406437283571…

In der Renaissance gab Albrecht Dürer eine sehr gute Näherungskonstruktion an. Er unterschied bewusst zwischen exakten, von ihm „demonstrative“ genannten Lösungen und Näherungslösungen, die er „mechanice“ nannte. 1837 veröffentlichte Wantzel schließlich den Beweis, dass eine allgemeine klassische Dreiteilung unmöglich ist.

Nichtklassische exakte Verfahren

Wenn man zusätzliche Hilfsmittel zulässt, kann jeder Winkel exakt dreigeteilt werden. Diese Verfahren lösen nicht das klassische Problem, weil sie die erlaubten Werkzeuge erweitern.

Bei der Methode des Archimedes wird ein Lineal mit zwei Markierungen im Abstand eines Kreisradius verwendet. Das Lineal wird so angelegt, dass eine Markierung auf einer Geraden und die andere auf einem Halbkreis liegt. Aus gleichschenkligen Dreiecken folgt dann α = 3β, also ist β der Drittelwinkel.

Die Methode des Pappos ist eine Neusis-Konstruktion für spitze Winkel. Ein Lineal mit einer markierten Länge 2a wird so verschoben, dass es durch den Winkelscheitel läuft und bestimmte Hilfslinien schneidet. Mit Wechselwinkeln, Umfangswinkeln und gleichschenkligen Dreiecken wird gezeigt, dass der entstehende Winkel genau ein Drittel des Ausgangswinkels ist.

Ein Tomahawk ist eine geometrische Schablone aus zwei senkrechten Strecken und einem Halbkreis. Wird sie so an einen Winkel angelegt, dass Griff, Halbkreis und Haken bestimmte Schenkel berühren, bildet der Griff mit einem Schenkel ein Drittel des Ausgangswinkels. Für kleine Winkel kann man über den Nebenwinkel arbeiten.

Auch ein rechtwinkliges dreieckiges Lineal kann als zusätzliches Werkzeug dienen. Ludwig Bieberbach beschrieb 1932, dass damit kubische Konstruktionen lösbar sind. Für einen Winkel δ entsteht die Gleichung z³ − (3/4)z − α/4 = 0 mit α = cos(δ) und z = cos(δ/3).

Weitere exakte Hilfsmittel sind Trisektrizes, also Kurven, die das Dritteln ermöglichen. Beispiele sind die Quadratrix des Hippias, die archimedische Spirale, Hyperbeln, Parabeln, die Pascalschnecke, die Zykloide von Ceva, die Maclaurin-Trisektrix und die Trisektrix von Longchamps. Auch Origami kann die Dreiteilung eines Winkels 0° < 3α < 90° mit sechs Faltungen leisten, und ein flexibles Lineal auf einer zylindrischen Mantelfläche kann über Schraubenlinien eine exakte Drittelung erzeugen.

Näherungen und Anwendungen

Obwohl die klassische exakte Lösung unmöglich ist, gibt es sehr gute Näherungsverfahren. Dürers Näherungskonstruktion teilt in einem Kreissektor die Sehne und arbeitet mit Senkrechten, Kreisbögen und Projektionen auf den Kreisbogen. Für 0° < 2α ≤ 180° sind die absoluten Fehler klein; bei 180° beträgt der angegebene Fehler −31′37,501″ beziehungsweise −0,5270836…°.

Ein einfacheres Verfahren nutzt iterative Winkelhalbierung und die geometrische Reihe

α/3 = α · (1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + …).

Für 60° ergibt sich nach neun Iterationen 60° · 171/512 = 20,0390625°. Dazu gilt die Summenformel

Σ(k=1 bis n) (−1)^(k−1)/2^k = 1/3 − (−1)^n/(3·2^n).

Chris Alberts beschrieb 2011 eine sehr genaue Näherung für Winkel zwischen 0° und 90°. Nach Rostamians Fehleranalyse beträgt die maximale Abweichung nach Schritt 5 etwa 0,7°, nach Schritt 7 nur noch 0,00013791° und nach Schritt 10 höchstens 1,33·10^−16°. Bei Winkelschenkeln von 1 Billion km entspräche das etwa 2,32 mm absolutem Fehler an der Sehne.

Eine wichtige Anwendung betrifft kubische Gleichungen. Eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten kann genau dann geometrisch mit Zirkel, Lineal und einem Winkeldreiteiler gelöst werden, wenn sie drei reelle Lösungen hat. Die Gleichung x³ − 2 = 0, die zur Verdopplung des Würfels gehört, ist damit nicht lösbar, weil sie nicht ausschließlich reelle Lösungen besitzt.

Mit einem Winkeldreiteiler lassen sich auch mehr regelmäßige Vielecke konstruieren: Ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten ist genau dann mit Lineal, Zirkel und Winkeldreiteiler konstruierbar, wenn n = 2^r 3^s p₁…p_k gilt, wobei die p_j paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen größer als 3 der Form p_j = 2^t3^u + 1 sind. Der Artikel erläutert dies beispielhaft am Siebeneck und am Zentriwinkel eines Siebzehnecks.