Dreispiegelungssatz

Kernaussage

Der Dreispiegelungssatz, auch Satz von den drei Spiegelungen, ist ein Lehrsatz der Geometrie. Er gehört zur Elementargeometrie und zur Spiegelungsgeometrie. Sein Thema ist die Verkettung von Spiegelungen in der euklidischen Ebene, also die Frage, welche Abbildung entsteht, wenn man mehrere Spiegelungen nacheinander ausführt.

Die zentrale Aussage lautet: Unter einer bestimmten Lagebedingung ist die Verkettung von drei Spiegelungen wieder eine Spiegelung. Diese Lagebedingung betrifft die drei Spiegelachsen, also die Geraden, an denen gespiegelt wird.

Satz in der Ebene

In der euklidischen Ebene ist die Verkettung von drei Spiegelungen ihrerseits eine Spiegelung, wenn die drei Spiegelachsen im Büschel liegen. Das bedeutet: Die drei beteiligten Geraden sind entweder parallel oder sie haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Ist diese Bedingung erfüllt, dann liegt auch die Spiegelachse der entstehenden Spiegelung in demselben Büschel. Sie ist also entweder zu den drei gegebenen Spiegelachsen parallel oder sie geht durch deren gemeinsamen Schnittpunkt.

Folgen für Kongruenzabbildungen

Aus dem Dreispiegelungssatz folgt ein Darstellungssatz für die euklidische Ebene: Jede Kongruenzabbildung ist selbst eine Spiegelung oder kann als Verkettung von zwei oder drei Spiegelungen dargestellt werden. Eine Kongruenzabbildung ist dabei eine Abbildung, die Längen und Formen erhält.

Verkürzt sagt man: Jede ebene Kongruenzabbildung ist eine Spiegelung, eine Doppelspiegelung oder eine Dreifachspiegelung.

Mögliche Fälle in der Ebene

Für eine ebene Kongruenzabbildung gibt es nach dieser Darstellung nur vier mögliche Fälle:

• Sie ist eine Spiegelung.
• Sie ist eine Verschiebung. Diese entsteht als Doppelspiegelung an parallelen Spiegelachsen.
• Sie ist eine Drehung. Diese entsteht als Doppelspiegelung an sich schneidenden Spiegelachsen.
• Sie ist eine Schubspiegelung. Das ist die Verkettung einer Spiegelung mit einer Verschiebung in Richtung der Spiegelachse.

Raumgeometrie

Für Kongruenzabbildungen im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es einen entsprechenden Darstellungssatz für räumliche Bewegungen: Eine räumliche Bewegung ist stets als Verkettung von höchstens vier Ebenenspiegelungen darstellbar. Eine Ebenenspiegelung ist eine Spiegelung an einer Ebene statt an einer Geraden. Hat die räumliche Bewegung einen Fixpunkt, also einen Punkt, der an seiner Stelle bleibt, reichen bereits drei Ebenenspiegelungen aus.

Die Entsprechung zum ebenen Dreispiegelungssatz lautet: Sind die Spiegelebenen dreier Ebenenspiegelungen zueinander parallel oder gehen sie durch eine gemeinsame Gerade, dann ist ihre Verkettung ebenfalls eine Ebenenspiegelung.

Außerdem wird ein Satz über räumliche Drehungen von Leonhard Euler aus dem Jahr 1776 genannt: Haben die beiden Drehachsen zweier räumlicher Drehungen einen gemeinsamen Schnittpunkt, dann ist die Verkettung beider wieder eine Drehung, und deren Drehachse geht ebenfalls durch diesen Schnittpunkt.

Axiomatische Bedeutung

In einem Aufbau der ebenen metrischen, also absoluten, Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff kann der Satz von den drei Spiegelungen den Rang eines Axioms erhalten. Ein Axiom ist eine grundlegende Annahme, auf der weitere Aussagen aufgebaut werden.

In diesem axiomatischen Zugang spielt der Satz eine zentrale Rolle. Das zeigen insbesondere Untersuchungen von Johannes Hjelmslev, Gerhard Hessenberg, Arnold Schmidt und Friedrich Bachmann.