Geradenbüschel

Grundidee

Ein Geradenbüschel ist eine besondere Geradenschar, also eine Menge von Geraden mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Es kann in der Ebene oder im Raum auftreten. Entscheidend ist jeweils, dass alle Geraden durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen. Dieser Punkt heißt je nach Zusammenhang Büschelpunkt, Büschelpunkt oder Trägerpunkt.

Im Raum

Von einem Geradenbüschel im Raum spricht man, wenn alle Geraden durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und zusätzlich in einer gemeinsamen Ebene liegen. Der gemeinsame Punkt heißt Büschel- oder Trägerpunkt. Die gemeinsame Ebene heißt Trägerebene des Geradenbüschels.

Liegt der Büschel- oder Trägerpunkt im Unendlichen, entsteht als Spezialfall ein Parallelgeradenbüschel. Ein Geradenbüschel gehört außerdem zu den sieben Grundgebilden der synthetischen projektiven Geometrie.

In der Ebene

In der Ebene liegt ein Geradenbüschel vor, wenn alle Geraden durch einen gemeinsamen Punkt dieser Ebene verlaufen. Dieser gemeinsame Punkt heißt Büschelpunkt. Ein solches Geradenbüschel kann als Sonderfall einer Funktionsschar linearer Funktionen verstanden werden, also als Familie linearer Funktionen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt.

Hat das Geradenbüschel den Büschelpunkt (a|b), wird es durch die Büschelgleichung y_(m,x) = m · (x - a) + b beschrieben. Dabei ist m der Parameter und steht für die Steigung der jeweiligen Geraden.

Spezialfall Ursprung

Ein besonderer Fall entsteht, wenn der Büschelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegt. Dann lautet die Büschelgleichung y = mx. Der Parameter m gibt wieder die Geradensteigung an. Alle Geraden dieses Büschels sind zugleich Ursprungsgeraden, weil sie durch den Ursprung verlaufen.