Dreikörperproblem

Grundidee und Bedeutung

Das Dreikörperproblem gehört zur Himmelsmechanik. Es fragt danach, wie sich drei Körper bewegen, wenn sie sich gegenseitig nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz anziehen. Gesucht ist also eine Lösung oder Vorhersage für die Bahnen aller drei Körper.

Das Problem ist wichtig, weil es zeigt, dass schon drei gegenseitig wechselwirkende Himmelskörper viel schwieriger zu berechnen sind als zwei. Während das Zweikörperproblem durch die Kepler’schen Gesetze analytisch lösbar ist, ist der allgemeine Fall mit drei Körpern nicht mehr mit elementaren Funktionen darstellbar. Im allgemeinen Fall verläuft die Bewegung chaotisch und muss für quantitative Ergebnisse numerisch berechnet werden, also mit schrittweisen Näherungsverfahren, heute meist mit Computern.

Mathematische Eigenschaften

Bei mehr als zwei Himmelskörpern sind die Integrale nicht mehr algebraisch integrierbar. Das bedeutet: Die Lösung lässt sich im Allgemeinen nicht als einfache Formel mit elementaren Funktionen schreiben.

Karl Frithiof Sundman gab Anfang des 20. Jahrhunderts erstmals eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer konvergenten Potenzreihe an. Diese Lösung gilt unter der Annahme, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems nicht verschwindet. Dadurch kommt es nicht zu einem Dreierstoß, also zu einem Zustand, in dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt. Für praktische Rechnungen ist Sundmans Lösung jedoch nicht brauchbar, weil für ausreichende Genauigkeit mindestens 10 hoch 8.000.000 Terme der Reihe berücksichtigt werden müssten.

Die Stabilität eines Dreikörpersystems wird durch das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem beschrieben.

Numerische Berechnung und Chaos

Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme. Viele bekannte Mathematiker beschäftigten sich damit, darunter Alexis-Claude Clairaut, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Thorvald Nicolai Thiele, George William Hill und Henri Poincaré.

Für Simulationen wird die Bewegung in kleinen Zeitintervallen berechnet. In jedem Schritt bestimmt man die wirkenden Gravitationskräfte und daraus die nächste Verschiebung der Körper. Schon kleine Änderungen in der Länge dieser Zeitintervalle können bei identischen Ausgangsbedingungen zu völlig verschiedenen Prognosen führen. Das veranschaulicht den chaotischen Charakter des allgemeinen Dreikörperproblems.

Sonderfälle und Lagrange-Punkte

Ein wichtiger Spezialfall ist das eingeschränkte Dreikörperproblem. Dabei hat einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse, sodass seine Wirkung auf die beiden anderen Körper vernachlässigt werden kann. Die zwei anderen Körper umrunden sich dabei auf Kreisbahnen.

In diesem eingeschränkten Dreikörperproblem gibt es fünf stationäre Lösungen in der Bahnebene, die Lagrange-Punkte. In der Umgebung zweier dieser Punkte existieren periodische und quasiperiodische Lösungen. Solche Lösungen gibt es auch für elliptische Bahnen; dieser Fall heißt elliptisch eingeschränktes Dreikörperproblem.

Ein exakt lösbarer Sonderfall entsteht, wenn sich die Anziehungskräfte zweier großer Körper auf einen verschwindend kleinen Körper ausgleichen, wobei im mitrotierenden Bezugssystem auch Scheinkräfte berücksichtigt werden. Diese Gleichgewichtspunkte heißen L1 bis L5. Der Punkt L1 wird in der Raumfahrt zur Sonnenforschung verwendet; das Sonnenobservatorium SOHO befindet sich dort. Das Infrarot-Teleskop JWST von NASA, ESA und CSA befindet sich auf einer Umlaufbahn um den Lagrange-Punkt L2.

Näherungen und besondere Lösungen

Näherungs- oder exakte Lösungen sind in bestimmten Fällen möglich. Wenn die Masse eines Himmelskörpers klein ist, kann man das Problem iterativ lösen, heute meist mit Computern. Man kann auch Bahnstörungen berechnen, also Veränderungen der Bahn des kleinsten oder leichtesten Körpers durch die größeren und schwereren Körper.

Für drei gleiche Massen gibt es eine besondere Lösung: Die drei Objekte laufen hintereinander auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines Unendlichzeichens hat.

Verallgemeinerung und Beispiele

Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das Mehrkörperproblem. Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man mit Mehrkörpersimulationen.

Ein Beispiel für ein stabiles Dreikörpersystem ist das System Sonne – Planet – Trojaner. Trojaner sind Kleinkörper, die in einem solchen System eine stabile Rolle einnehmen können.

In der Rezeption spielt das Dreikörperproblem unter anderem im Science-Fiction-Roman Die drei Sonnen des chinesischen Autors Cixin Liu eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen Zivilisation. In einem Kriminalroman der Mathematikerin Leila Schneps, veröffentlicht unter dem Pseudonym Catherine Shaw, wird das Dreikörperproblem ebenfalls aufgegriffen.