Chaosforschung

Gegenstand und Grundidee

Chaosforschung oder Chaostheorie ist ein nicht klar umgrenztes Teilgebiet der nichtlinearen Dynamik und der dynamischen Systeme in mathematischer Physik beziehungsweise angewandter Mathematik. Sie untersucht Ordnungen in Systemen, deren Entwicklung langfristig unvorhersagbar wirkt, obwohl ihre Gleichungen deterministisch sind: Aus denselben Anfangsbedingungen folgt immer dasselbe Ergebnis.

Deterministisches Chaos entsteht durch sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. In der Praxis lassen sich Anfangszustände wegen Messungenauigkeiten und Rauschen nie vollkommen gleich herstellen. Winzige, kaum unterscheidbare Unterschiede können nach genügend langer Zeit zu stark verschiedenen Messergebnissen führen. Das bedeutet nicht, dass wirklich identische Anfangsbedingungen verschiedene Ergebnisse erzeugen.

Auch Simulationen zeigen dies: Eine geringe Änderung der Genauigkeit eines Startwerts kann das Resultat grundlegend verändern. Anfangs beliebig nahe Trajektorien, also Zustandsbahnen, liegen nach langer Zeit nicht mehr nahe beieinander. Mathematisch ist die Stetigkeit der Abbildung für kleine Zeiten gegeben, im Limes großer Zeiten aber nicht mehr. Bereiche von Anfangsbedingungen können dabei fraktale Strukturen bilden: Punkte mit unterschiedlichen Endzuständen liegen beliebig dicht nebeneinander; andere Bereiche sind so geordnet, dass benachbarte Anfangsbedingungen denselben Endzustand haben.

Chaostheorie untersucht keine Zufallssysteme oder stochastischen Systeme, sondern mathematisch beschreibbare, prinzipiell deterministische Systeme. Sie ist außerdem von der Theorie komplexer Systeme zu unterscheiden, weil auch sehr einfache Systeme chaotisch sein können. Chaotische dynamische Systeme sind nichtlinear.

Mathematische Bedingungen und Vorhersagegrenzen

Ein dynamisches System (T, X, f) heißt chaotisch, wenn es eine f-invariante Menge Y ⊆ X gibt. Das bedeutet: Für jedes t ∈ T und jedes y ∈ Y gilt f(t,y) ∈ Y. Auf dieser Menge müssen drei Bedingungen erfüllt sein:

• f besitzt sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen auf Y.
• f ist topologisch transitiv auf Y: Zu allen offenen Mengen U,V ⊆ X mit U ∩ Y ≠ ∅ ≠ V ∩ Y existiert ein t > 0, sodass f(t,U) ∩ V ≠ ∅.
• Die periodischen Orbits von f liegen dicht in Y.

Die sensitive Abhängigkeit begrenzt praktische Vorhersagen. Selbst kleinste Änderungen von Anfangswerten können nach einer systemabhängigen endlichen Zeit ein völlig anderes, scheinbar irreguläres Verhalten bewirken. Einzelne Anfangswerte oder ihre Umgebung können dennoch regulär sein, etwa bei einem periodischen Orbit. Für eine genaue Berechnung zu einer bestimmten zukünftigen Zeit müssten Anfangsbedingungen unendlich präzise bekannt sein; das ist praktisch unmöglich. Der Schmetterlingseffekt ist die bekannte Bezeichnung für dieses Problem.

Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik kommt eine grundsätzliche Grenze hinzu: Die Heisenbergsche Unschärferelation erlaubt nicht, Ort und Impuls eines Objekts gleichzeitig beliebig genau zu bestimmen. Das ist keine bloße Messschwäche. Bei makroskopischen Systemen ist die Unschärfe meist vernachlässigbar, kann in chaotischen Systemen aber anwachsen und schließlich makroskopisch werden; beim Lottozahlengerät mit Kugeln soll dies bereits nach etwa 20 Stößen gelten. Reale Systeme können daher, anders als ihre mathematischen Modelle, nicht im klassischen Sinn vollständig deterministisch sein. Diese Aussage gilt laut Artikel nur begrenzt für andere Interpretationen der Quantenmechanik, etwa die De-Broglie-Bohm-Theorie.

Nichtlineare und diskrete Systeme

Chaotisches Verhalten kann nur auftreten, wenn die Dynamik durch nichtlineare Gleichungen beschrieben wird. Solche Gleichungen sind meist nicht analytisch, also nicht durch explizite Größenangaben lösbar, sondern nur numerisch. Unterschiede zwischen Anfangsbedingungen wachsen oft exponentiell, etwa durch Selbstverstärkung und Rückkopplungen.

Bei hinreichender Dissipation durch Reibung kann sich in der Regel kein chaotisches Verhalten ausbilden. Bei Jahrmarktsfahrgeschäften, die konstruktionsbedingt zu chaotischem Verhalten neigen, könnten ohne Bremsmaßnahmen unerwartete und unzumutbare Beschleunigungsspitzen entstehen. Reibung wirkt aber nicht ausschließlich stabilisierend: Bei einer Grenzschicht ermöglicht ihr Einfluss nach der linearen Stabilitätstheorie das Wachstum kleiner Störungen. Dieses exponentielle Wachstum ist die erste Phase des laminar-turbulenten Umschlags.

Chaos wird nicht nur bei zeitlich kontinuierlichen physikalischen Systemen untersucht. Diskrete Systeme gehen in einzelnen Iterationsschritten von einem Zustand in den nächsten über: xₙ ↦ xₙ₊₁ = f(xₙ). Beispiele sind die logistische Gleichung und Iterationsvorschriften für Julia-Mengen; dort können dieselben Grundphänomene auftreten. Durch die Betrachtung aufeinanderfolgender Zustände kann einem kontinuierlichen System grundsätzlich ein diskretes System zugeordnet werden. Eine solche Methode ist die Poincaré-Abbildung, mit der Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts die Stabilität der Planetenbewegung untersuchte.

Phasenraum, Attraktoren und Übergänge

Trotz langfristig nicht vorhersagbaren Verhaltens zeigen chaotische Systeme typische Muster, die in unterschiedlichen Systemen auftreten und deshalb universelle Bedeutung haben. Im Phasenraumdiagramm wird der Zustand eines Systems als Punkt dargestellt. Die Achsen stehen für unabhängige Zustandsgrößen und deren Geschwindigkeiten; die Bewegung ergibt eine Bahn im Phasenraum. Beim Pendel bilden Auslenkwinkel und Winkelgeschwindigkeit den Phasenraum, eine periodische Bewegung erscheint als geschlossene Kurve.

Ein Attraktor ist eine Bahn oder Struktur, zu der Bahnen mit verschiedenen Anfangsbedingungen konvergieren. Beim freien Pendel mit Reibung ist der Ruhezustand ein punktförmiger Attraktor oder Fixpunkt. Ein äußerlich periodisch angeregtes Pendel mit Reibung kann zu einem periodischen Grenzzyklus konvergieren. Attraktoren können auftreten, wenn die Divergenz des Strömungsfeldes in Bereichen des Phasenraums negativ ist; Fixpunkte und Grenzzyklen mit positiver Divergenz heißen Repeller.

Seltsame Attraktoren bleiben in einem begrenzten Gebiet, sind aber zeitlich unendlich lang und nicht periodisch. Sie reagieren chaotisch auf kleine Störungen und sind Fraktale: Ihre fraktale Dimension ist gebrochen und kleiner als die Dimension ihres Einbettungsbereichs. Damit kommt trotz Chaos nur ein verschwindender Bruchteil aller möglichen Zustände vor. Bekannte Beispiele sind der Lorenz-Attraktor eines einfachen Wettermodells und der Rössler-Attraktor. Nach dem Poincaré-Bendixson-Theorem sind seltsame Attraktoren erst ab dreidimensionalen Phasenräumen möglich. Mindestens ein Ljapunow-Exponent muss negativ und mindestens einer positiv sein: Der negative unterstützt die Dimensionsreduktion, der positive das chaotische Verhalten. Poincaré-Abbildungen seltsamer Attraktoren ergeben Cantor-Mengen; bei diskreten Systemen gibt es etwa den Hénon-Attraktor, bei repulsiven Strukturen fraktale Julia-Mengen.

Der Übergang ins Chaos kann durch Bifurkationen erfolgen, also plötzliche qualitative Verhaltensänderungen. Bei der Periodenverdopplung oder dem Feigenbaum-Szenario verdoppelt sich die Oszillationsperiode stufenweise: Δrₙ ∝ 2ⁿ. Die Parameterintervalle werden kürzer, Δxₙ ∝ 1/2^δₙ; das Grenzverhältnis ist die Feigenbaum-Konstante δ ≈ 4,669. Chaotische Bereiche enthalten erneut fraktal angeordnete periodische Intervalle. Bei Intermittenz wechseln quasiperiodisches und chaotisches Verhalten; zum chaotischen Bereich nimmt der chaotische Anteil zu. Störungen können besonders bei rationalen Frequenzverhältnissen Resonanzen hervorrufen. Irrationale, schlecht durch Brüche approximierbare Verhältnisse sind zeitlich stabiler; der Goldene Schnitt gilt dabei als am schlechtesten durch Kettenbruchentwicklung annäherbar.

Beispiele und Entwicklung der Forschung

Naturwissenschaftliche Beispiele sind Wetter, Doppelpendel und magnetisches Pendel, Systeme stoßender Kugeln wie Lottozahlengerät, Flipperautomat und Billard, das Dreikörperproblem sowie Sternsysteme mit drei oder mehr Sternen, Turbulenz beim Bénard-Experiment, die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion, Räuber-Beute-Modelle und die diskrete Bäcker-Transformation. Beim Wetter schwankt die Vorhersagbarkeit stark: Bei manchen Wetterlagen sind Vorhersagen für eine Woche möglich, bei anderen kaum für 24 Stunden. Das Doppelpendel ist ein beliebtes Demonstrationsobjekt, weil es nur zwei unabhängige Freiheitsgrade besitzt und dennoch überraschende Wechsel im Bewegungsablauf zeigt.

Der Artikel nennt außerdem medizinische Beispiele wie Embolien bei Arterienverkalkung, den Ausfall bestimmter Hirnfunktionen beim Schlaganfall und bösartige Tumoren nach Mutationen von Suppressor-Genen. Der Herzrhythmus wurde zeitweise als chaotisches Signal angesehen; daraus berechnete Parameter seien jedoch nur empirische Größen, und die Betrachtung des Herz-Kreislauf-Systems als „chaotisch“ sei problematisch. In Geistes- und Sozialwissenschaften werden unter anderem Börsenkurse und Konjunkturentwicklung, Krisen und Übergangszustände der Geschichtswissenschaft, Nachrichtenforschung sowie sprachpsychologische Befunde zum Stottern und kriminelle Affekttaten untersucht.

Wichtige Grundlagen stammen von Henri Poincaré, Edward N. Lorenz, Benoît Mandelbrot und Mitchell Feigenbaum. Poincarés Lösungsansatz zur Stabilität des Sonnensystems entstand Ende des 19. Jahrhunderts, wurde aber erst mit Computern in der Mitte des 20. Jahrhunderts brauchbar. Lorenz entdeckte in den 1960er Jahren an einem Wettermodell mit drei Gleichungen, dass gerundete Anfangswerte rasch völlig andere Resultate liefern können. Robert May verwendete 1976 für eine Fischpopulation die Formel P_neu = R·P_alt·(1 − P_alt); bei einer Anfangspopulation von 2 % setzte bei R um 3,8 chaotisches Verhalten ein. In den 1970er- und 1980er-Jahren wurden die logistische Gleichung, die Feigenbaum-Konstante und die Mandelbrot-Menge besonders wichtig. Die aktuelle Forschung befasst sich laut Artikel eher mit einem uneinheitlichen Satz von Phänomenen und Theorien; viele Beteiligte bezeichnen sich nicht mehr als Chaosforscher.