Algebraische Integration

Begriff und Bedeutung

Algebraische oder symbolische Integration, auch Quadratur genannt, ist die Berechnung von Integralen durch exakte Termumformungen. Sie unterscheidet sich von der numerischen Quadratur, bei der ein Integral nur näherungsweise bestimmt wird.

Sie ist ein wichtiger Anwendungsfall von Computeralgebrasystemen. Solche Programme enthalten Funktionen, die eine Stammfunktion bestimmen sollen. Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder den gegebenen Integranden ergibt. Wichtige Rechenregeln dafür sind die Substitutionsregel und die partielle Integration.

Grenzen und Verfahren

Die üblichen Techniken sind nicht immer ausreichend. Beispielsweise besitzt \exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right) keine geschlossene Darstellung ihrer Stammfunktion. Für solche Fälle können Fourier-Transformation und Residuensatz verwendet werden. Computeralgebrasysteme nutzen außerdem spezielle Fehler-Funktionen, etwa die Gaußsche Fehlerfunktion, um Stammfunktionen ohne geschlossene Darstellung auszudrücken.

Der Risch-Algorithmus kann für viele Klassen von Integranden entscheiden, ob ein Integral existiert, und es dann bestimmen. Er ist jedoch auf unbestimmte Integrale beschränkt. Viele für Physiker, theoretische Chemiker und Ingenieure wichtige Integrale sind dagegen bestimmte Integrale, häufig mit Bezug zur Laplace-, Fourier- oder Mellin-Transformation.

Eine weitere, eher heuristische Methode kombiniert Computeralgebrasystem, Mustererkennung und Wissen über spezielle Funktionen, besonders die unvollständige Gamma-Funktion. Sie ist dennoch effektiv für bestimmte Integrale, insbesondere aus der Ingenieurpraxis. Sie wurde zuerst in Maple umgesetzt und später unter anderem von Mathematica und MuPAD übernommen.

Beispiel mit x²

Für das unbestimmte Integral gilt:

\int x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{3}}{3}+C

Dabei ist C die Integrationskonstante. Für das bestimmte Integral von -1 bis 1 gilt:

\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{2}{3}=0{,}6666\ldots

Der symbolische, also exakte Wert ist \frac{2}{3}. Die Dezimalzahl 0{,}6666\ldots ist seine numerische Darstellung und hat unendlich viele Nachkommastellen.