Keplersche Gesetze

Überblick und Bedeutung

Die drei Keplerschen Gesetze beschreiben die Bewegung von Planeten um die Sonne. Johannes Kepler entdeckte sie Anfang des 17. Jahrhunderts, als er das kopernikanische, tatsächlich heliozentrische System mit den genauen Beobachtungen Tycho Brahes in Einklang brachte. Sie waren ein wesentlicher Schritt von mittelalterlicher zu neuzeitlicher Wissenschaft und sind grundlegend für die Astronomie.

Isaac Newton zeigte Ende des 17. Jahrhunderts, dass die Gesetze die exakte Lösung des Zweikörperproblems zwischen Sonne und Planet sind, wenn eine anziehende Gravitationskraft wirkt, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt. Für Planeten im Sonnensystem gelten sie gut näherungsweise: Berechnete und tatsächliche Himmelspositionen weichen meist um weniger als eine Winkelminute, etwa 1/30 eines Vollmonddurchmessers, ab. Die Bahnstörungen entstehen vor allem durch die gegenseitige Anziehung der Planeten; sehr viel kleinere Korrekturen liefert die Allgemeine Relativitätstheorie.

Die drei Gesetze

1. Die Bahn jedes Planeten ist eine Ellipse; die Sonne befindet sich in einem ihrer beiden Brennpunkte.

2. Ein Fahrstrahl, also die Verbindungslinie von der Sonne zum Planeten, überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleich große Flächen. Deshalb ist die Bahngeschwindigkeit nicht konstant: In Sonnennähe ist der Planet schneller, in größerer Entfernung langsamer.

3. Für zwei Trabanten um dasselbe Zentrum gilt für ihre Umlaufzeiten T und großen Halbachsen a: (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³. Die große Halbachse ist die Hälfte der längsten Achse einer Ellipse. Kepler verwendete dafür die mittlere Sonnenentfernung, also das Mittel aus Perihel- und Apheldistanz.

Entdeckung durch Kepler

Kepler ging vom heliozentrischen Weltbild nach Kopernikus von 1543 aus. Gegenüber dem geozentrischen Modell des Ptolemäus und dem 1588 vorgeschlagenen tychonischen Weltmodell war es einfacher und benötigte weniger Parameter. Brahes Beobachtungen aus etwa 1560 bis 1601 hatten höchstens ungefähr zwei Winkelminuten Unsicherheit und erfassten große Teile von Planetenbahnen.

Anders als frühere Astronomen nahm Kepler nicht gleichförmige Kreisbewegungen mit zusätzlichen Epizykeln als Ausgangspunkt an. Er bestimmte zunächst aus Beobachtungen die tatsächlichen Bahnen und ihre längs der Bahn veränderlichen Geschwindigkeiten. Für Mars konnte er den Positionsfehler mit Kreis- und Epizykelmodellen nicht unter acht Winkelminuten, etwa 1/4 Vollmonddurchmesser, senken. Er fand schließlich, dass eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt die Marsbahn am besten beschreibt; dies bestätigte sich auch für Erde und weitere beobachtete Planeten.

Die ersten beiden Gesetze veröffentlichte Kepler 1609 in Astronomia nova. Das Gesetz über die Beziehung verschiedener Planetenbahnen erschien 1619 in Harmonice mundi. Seine Versuche, die Wirkung der Sonne etwa durch Magnetismus oder eine Anima motrix physikalisch zu erklären, blieben erfolglos.

Newtonsche Erklärung und Geltungsbereich

Newton leitete die empirisch gefundenen Gesetze 80 Jahre später aus seinem Gravitationsgesetz her. Das erste Gesetz folgt aus der Lösung der Bewegung im rotationssymmetrischen Kraftfeld, das zweite aus der Drehimpulserhaltung und das dritte aus der Keplergleichung beziehungsweise der mechanischen Ähnlichkeit. Die Aussagen gelten bei einem Kraftgesetz, dessen Betrag proportional zu 1/r² ist, auch für die elektrostatische Coulombkraft.

Für eine gebundene Bahn mit Energie E < 0 hat die Bahnform r(φ) = p/(1 + ε·cos φ) mit 0 < ε < 1 die Form einer Ellipse. Dabei ist ε die numerische Exzentrizität, ein Maß für die Abweichung vom Kreis, und p ein Bahnparameter. Es gilt a = p/(1 − ε²) für die große sowie b = p/√(1 − ε²) für die kleine Halbachse. Das Perizentrum ist der dem Zentrum nächste, das Apozentrum der fernste Bahnpunkt.

Beim zweiten Gesetz ist die Flächengeschwindigkeit konstant: dA/dt = L/(2m), wobei L der Drehimpuls und m die Masse des umlaufenden Körpers ist. Eine Zentralkraft zeigt stets zum Zentrum; daher bleibt der Drehimpuls erhalten. Das Gesetz gilt auch für nicht geschlossene Bahnen und allgemein für Zentralkräfte, nicht nur für 1/r²-Gravitation.

Anwendungen und genauere Formeln

Die Gesetze wurden zunächst für die fünf Kepler bekannten Planeten formuliert. Sie beschreiben auch Monde, Asteroidengürtel, Oortsche Wolke, die Ringe von Jupiter und Saturn, Sternhaufen, Objekte um ein Galaxienzentrum sowie Satellitenbahnen und bilden damit eine Grundlage der Raumfahrt. Im Mehrkörpersystem können Bahnebenen jedoch präzedieren, also ihre Lage im Raum verändern; Planetenbahnen besitzen daher Inklination und Periheldrehung. Bei hoher Messgenauigkeit oder kosmischen Maßstäben werden relativistische Effekte wichtig. Beispielsweise lassen sich die Periheldrehung des Merkur und Bildungsmechanismen in Spiralgalaxien nicht stimmig allein mit dem Keplermodell erklären.

Mit Gravitation und zwei Massen M und m lautet das dritte Gesetz genauer: T² = [4π²/(G(M + m))]·a³ ≈ [4π²/(GM)]·a³. Die Näherung gilt, wenn m gegenüber M vernachlässigbar klein ist, wie etwa im Sonnensystem. So kann aus Umlaufdauer und Abstand die Gesamtmasse eines Doppelsternsystems bestimmt werden. Für zwei Trabanten gilt exakter: (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³·(M + m₂)/(M + m₁).