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Newtonsches Gravitationsgesetz
Das Newtonsche Gravitationsgesetz ist ein Gesetz der klassischen Physik, nach dem jeder Massenpunkt auf jeden anderen Massenpunkt mit einer anziehenden …
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Grundprinzip und Bedeutung
Das Newtonsche Gravitationsgesetz ist ein grundlegendes Gesetz der klassischen Physik. Es besagt, dass jeder Massenpunkt auf jeden anderen Massenpunkt eine anziehende Gravitationskraft ausübt. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Massenpunkte. Ihre Stärke ist proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes.
Damit erklärte Newton erstmals gemeinsam die Schwerkraft auf der Erde, den Mondumlauf um die Erde und die Planetenbewegung um die Sonne. Außerdem beschreibt die Theorie unter anderem Gezeiten sowie Bahnstörungen des Mondes und der Planeten mit großer Genauigkeit. Bei ausgedehnten Körpern werden die Kräfte zwischen allen einzelnen Massenteilen betrachtet und zu einer Gesamtkraft addiert.
Kraft zwischen Massenpunkten
Für zwei Massenpunkte mit den Massen m₁ und m₂ und dem Abstand r lautet der Betrag der Gravitationskraft:
F = G · (m₁m₂ / r²)
Dabei ist G die Gravitationskonstante. Die beiden Körper erfahren Kräfte mit gleichem Betrag, die jeweils zum anderen Massenpunkt zeigen. Die Gravitationskraft ist deshalb stets anziehend. Im Gegensatz dazu kann das mathematisch ähnliche Coulombsche Gesetz sowohl anziehende als auch abstoßende Kräfte beschreiben.
Nach dem zweiten Newtonschen Axiom erzeugt die Kraft eine Beschleunigung. Für zwei Punktmassen gilt:
a₁ = F/m₁ = G · (m₂/r²) beziehungsweise a₂ = F/m₂ = G · (m₁/r²)
Beide Massen werden zum gemeinsamen Schwerpunkt hin beschleunigt. Aus der Sicht eines Körpers bewegt sich der andere mit der Summe der Einzelbeschleunigungen:
a₁ + a₂ = G · ((m₁ + m₂)/r²)
Ist eine Masse sehr viel größer als die andere, kann näherungsweise nur die größere Masse berücksichtigt werden. Bei einem Gegenstand nahe der Erdoberfläche genügt deshalb meist die Erdmasse. Ein Apfel, ein Mensch oder ein LKW werden am selben Ort gleich stark in Richtung Erdmitte beschleunigt. In einem Doppelsternsystem müssen dagegen beide Sternmassen berücksichtigt werden, weil sie etwa gleich groß sind.
Richtung, Überlagerung und Gravitationsbeschleunigung
Für die vollständige Beschreibung von Richtung und Betrag wird die Kraft vektoriell angegeben. Sind r⃗₁ und r⃗₂ die Ortsvektoren der beiden Massenpunkte und r⃗₁₂ = r⃗₂ − r⃗₁ der Verbindungsvektor von Massepunkt 1 zu Massepunkt 2, gilt für die Kraft auf Massepunkt 1:
F⃗₁ = G · (m₁m₂ / |r⃗₂ − r⃗₁|³) · (r⃗₂ − r⃗₁)
Mit dem Einheitsvektor e⃗₁₂ = r⃗₁₂/r lässt sich dies auch schreiben als:
F⃗₁ = G · (m₁m₂/r³) · r⃗₁₂ = G · (m₁m₂/r²) · e⃗₁₂
Die Kraft zeigt damit direkt in Richtung des zweiten Massenpunkts. Die Kraft auf Massepunkt 2 ist der Gegenvektor:
F⃗₂ = −F⃗₁
Wirken mehrere Massenpunkte auf Massepunkt 1, werden die einzelnen Kräfte vektoriell addiert:
F⃗₁ = Gm₁ ∑ᵢ₌₂ⁿ mᵢ · (r⃗ᵢ − r⃗₁)/|r⃗ᵢ − r⃗₁|³
Die daraus entstehende Beschleunigung hat den Betrag a₁ = F₁/m₁. Sie wird auch Gravitationsbeschleunigung oder Gravitationsfeldstärke am Ort der Masse m₁ genannt. Verändert sich der Abstand während einer Bewegung nur sehr wenig, ist die Beschleunigung praktisch konstant. In einem kleinen Bereich kann das Gravitationsfeld daher als homogen gelten. Muss die Abstandsänderung berücksichtigt werden, kann die Bewegung beispielsweise mithilfe des Gravitationspotentials Φ(r) = −Gm/r und der Integralrechnung berechnet werden.
Ausgedehnte Körper und Näherungen
Reale Körper sind keine Massenpunkte, sondern räumlich ausgedehnt. Weil das Gravitationsgesetz linear von den Massen abhängt, kann ein Körper gedanklich in sehr kleine Teile zerlegt werden. Die Beiträge dieser Teile werden als Vektoren addiert; im Grenzfall unendlich kleiner Teile wird aus der Summe ein Integral.
Für einen Körper mit sphärisch symmetrischer Massenverteilung ist die Gravitationswirkung außerhalb des Körpers so groß, als wäre die gesamte Masse in seinem Schwerpunkt vereinigt. Ausgedehnte Himmelskörper können deshalb näherungsweise als Massenpunkte behandelt werden. Im Zentrum einer kugelsymmetrischen beziehungsweise allgemein elliptischen homogenen Massenverteilung, beispielsweise einer Hohlkugel, ist die von dieser Masse ausgehende Gravitationskraft null. In einem Abstand r vom Mittelpunkt stammt die Kraft bei einer kugelsymmetrischen Massenverteilung genau von dem Anteil der Gesamtmasse, der innerhalb einer Kugel mit Radius r liegt. Dieses Ergebnis wird auch Newtonsches Schalentheorem genannt.
Für nicht elliptisch symmetrische Körper oder inhomogene Massenverteilungen gilt das Theorem im Allgemeinen nicht. Außerdem kann Gravitation nicht abgeschirmt werden. Das tatsächliche Gravitationsfeld im Inneren einer Hohlkugel wäre daher nicht insgesamt null, weil dort die Gravitation anderer Massen im Universum wirkt; nur die Kugelschale selbst würde keinen Beitrag liefern.
Entstehung und Grenzen der Theorie
Newton beschäftigte sich 1665/66 intensiv mit Planetenbahnen und einer mit dem Quadrat der Entfernung abnehmenden Schwerkraft. Ab 1678 arbeitete er unter anderem mit Robert Hooke und John Flamsteed an Mechanik und den keplerschen Gesetzen. Vorläufige Ergebnisse veröffentlichte Newton 1684 in De Motu Corporum. 1687 legte er in Philosophiae Naturalis Principia Mathematica die Grundlagen der klassischen Mechanik, die drei Bewegungsgesetze und das Gravitationsgesetz dar. Ursprünglich formulierte er die Massenanziehung über die Proportionalitäten F ∝ m₁, F ∝ m₂ und F ∝ r⁻², ohne eine Gravitationskonstante zu verwenden.
Henry Cavendish maß 1797 erstmals experimentell die gegenseitige Anziehung zweier Körper bekannter Masse mit einer empfindlichen Drehwaage. Die heute gebräuchliche explizite Form des Gesetzes wurde erst 1873, also 200 Jahre später, von Alfred Cornu und Jean-Baptistin Baille formuliert.
Mit der Newtonschen Himmelsmechanik konnten Bahnstörungen genauer erklärt werden. Abweichungen von früher berechneten Planetenpositionen, die nach Ptolemäus oder Kopernikus oftmals 10′ und nach den keplerschen Gesetzen noch bis zu 1′ betrugen, ließen sich auf die Anziehung anderer Planeten zurückführen. Aus den Bahnstörungen des Uranus wurde auf den bis dahin unbekannten Neptun geschlossen; Urbain Le Verrier berechnete seine ungefähre Position, und Johann Gottfried Galle entdeckte ihn kurz danach nur 1 Bogengrad von dieser Vorhersage entfernt.
Das Gesetz ist jedoch nur eine Näherung für schwache und zeitlich nur schwach veränderliche Gravitationsfelder. Die allgemeine Relativitätstheorie enthält es als Grenzfall kleiner Felder und kann aus ihr zusammen mit der Poisson-Gleichung der klassischen Gravitationstheorie hergeleitet werden. Die Newtonsche Theorie erklärt weder die Ursache der Gravitationskraft noch ihre Wirkung über Entfernung. Außerdem setzt sie eine unendlich schnelle Ausbreitung der Gravitation voraus, was der speziellen Relativitätstheorie widerspricht, nach der sich Gravitation höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Auch die Äquivalenz von träger und schwerer Masse wird nicht erklärt.
Beobachtungsbezogene Widersprüche zeigen sich besonders bei der Periheldrehung des Merkur: Zwischen der Newtonschen Berechnung und der Beobachtung bleibt ein Unterschied von 43 Bogensekunden pro Jahrhundert. Die Ablenkung von Licht im Gravitationsfeld hängt in der Newtonschen Theorie davon ab, ob Licht als elektromagnetische Welle oder als massebehaftetes Teilchen betrachtet wird. Als Welle ergibt sich keine Ablenkung, als Korpuskel ergibt sich ein Wert, der nur halb so groß ist wie der tatsächlich beobachtete. Die allgemeine Relativitätstheorie erklärt beide Effekte korrekt.
