Dreiecksfläche

Grundidee der Dreiecksfläche

Die Dreiecksfläche ist der Flächeninhalt eines Dreiecks. Ihre genaue Berechnung gehört zu den grundlegenden Problemen der Geometrie und ist wichtig, weil viele ebene und räumliche Formen in Dreiecke zerlegt werden können. Das Prinzip der Dreiecksnetze wird zum Beispiel in der Landvermessung durch Triangulierung und in modernen mathematischen Anwendungen genutzt.

Für ebene Dreiecke ist die zentrale Grundlage die Rechtecksfläche: Ein Rechteck mit Seitenlängen a und b hat den Flächeninhalt F = a · b. Daraus folgt die wichtigste Dreiecksformel: Hat ein Dreieck eine Grundseite g und die zugehörige Höhe h, dann gilt F = 1/2 · g · h. Die Grundseite g kann jede der drei Dreiecksseiten sein; die Höhe h ist der senkrechte Abstand des gegenüberliegenden Eckpunkts von dieser Grundseite. Anschaulich ist ein Dreieck mit Grundseite g und Höhe h halb so groß wie ein passendes Rechteck mit den Seiten g und h. Alle weiteren Flächenformeln für ebene Dreiecke lassen sich auf diese Grundformel zurückführen.

Formeln mit Seiten, Winkeln und Höhen

Wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann die Fläche mit dem Sinus des Winkels berechnet werden. Der Sinus verbindet die Seitenlängen mit der Höhe, zum Beispiel h_c = b sin α = a sin β. Für die Dreiecksfläche gilt dann:

• F = 1/2 bc sin α = 1/2 ca sin β = 1/2 ab sin γ.

Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks, und α, β, γ sind die zugehörigen Innenwinkel. Diese Formel ist besonders nützlich, wenn keine Höhe direkt gegeben ist, aber zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sind.

Für besondere Dreiecke ergeben sich einfache Spezialfälle. Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt F = 1/2 ab, wenn a und b die Katheten sind. Bei einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a gilt F = a² · √3/4.

Heron, Umkreis und Inkreis

Sind alle drei Seitenlängen a, b und c bekannt, kann die Dreiecksfläche mit dem Satz von Heron berechnet werden. Dazu verwendet man zuerst den halben Umfang s:

• s = (a + b + c)/2.

Dann gilt Herons Formel:

• F = √(s(s - a)(s - b)(s - c)).

Diese Formel braucht keine Höhe und keinen Winkel, sondern nur die drei Seitenlängen.

Auch mit Kreisradien eines Dreiecks lässt sich die Fläche bestimmen. Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle drei Ecken des Dreiecks geht. Sein Radius heißt R. Der Umkreismittelpunkt U liegt auf allen Mittelsenkrechten. Der Inkreis berührt alle drei Seiten; sein Radius heißt r. Der Inkreismittelpunkt I liegt auf allen Winkelhalbierenden und hat zu allen Dreiecksseiten denselben Abstand.

Mit dem Umkreisradius gilt:

• F = abc/(4R).

Diese Formel folgt aus dem Kreiswinkelsatz und der Winkel-Formel für die Dreiecksfläche. Mit dem Inkreisradius kann man die Fläche als Summe von drei Teildreiecken auffassen, deren Höhen jeweils r sind. Dadurch ergibt sich:

• F = sr = ((a + b + c)/2) · r.

Berechnung mit Koordinaten

Wenn die Eckpunkte eines Dreiecks in der Ebene durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann die Fläche mit einer Determinante berechnet werden. Für P₁ = (x₁, y₁), P₂ = (x₂, y₂), P₃ = (x₃, y₃) gilt:

• F = 1/2 |(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (x₃ - x₁)(y₂ - y₁)|.

Dies entspricht dem Betrag einer 2×2-Determinante. Der Betrag sorgt dafür, dass der Flächeninhalt positiv ist. Sind die Punkte im mathematisch positiven Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn, angeordnet, können die Betragsstriche weggelassen werden; der Determinantenwert ist dann positiv. Eine Verschiebung des Koordinatensystems ändert die Flächeninhalte nicht.

Für ein Dreieck im Raum mit P₁ = (x₁, y₁, z₁), P₂ = (x₂, y₂, z₂), P₃ = (x₃, y₃, z₃) verwendet man Vektoren. Die Fläche ist die Hälfte des Betrags des Vektorprodukts zweier Dreiecksseiten:

• F = 1/2 |→P₁P₂ × →P₁P₃| = 1/2 |→P₁P₂| |→P₁P₃| sin φ.

Dabei ist φ der Winkel zwischen den Vektoren →P₁P₂ und →P₁P₃. Mit dem Skalarprodukt lässt sich dieselbe Fläche auch so schreiben:

• F = 1/2 √(|→P₁P₂|² |→P₁P₃|² - (→P₁P₂ · →P₁P₃)²).

Diese Formel beruht auf dem Zusammenhang zwischen Vektorprodukt, Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren.

Sphärische Dreiecke

Ein Dreieck auf der Erdoberfläche ist streng genommen nicht eben, weil die Erde annähernd Kugelgestalt hat. Bei sehr großen Dreiecken, zum Beispiel mit Eckpunkten Kapstadt, Rio de Janeiro und Tokio, reichen ebene Dreiecksformeln nicht aus. Dann braucht man Methoden der sphärischen Geometrie, der sphärischen Trigonometrie oder der Differentialrechnung.

Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines sphärisches Dreieck nahezu denselben Flächeninhalt wie ein ebenes Dreieck mit drei gleich langen Seiten. Diese Verebnung wird umso genauer, je kleiner die Dreiecke sind. Daraus entsteht eine iterative Methode: Man halbiert wiederholt die geodätischen Linien, also die kürzesten Verbindungslinien auf der Kugeloberfläche, und berechnet die Flächensummen der kleineren Dreiecke. Der Grenzwert dieses Vorgangs ist die Fläche des sphärischen Dreiecks.

Schneller geht es mit Formeln der sphärischen Trigonometrie oder über den sphärischen Exzess. Der sphärische Exzess ist der Überschuss der Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks über 180° beziehungsweise π im Bogenmaß. Für ein sphärisches Dreieck mit Innenwinkeln α, β, γ auf einer Kugel mit Radius r gilt:

• F = (α + β + γ - π) · r².

Der Exzess ist also direkt proportional zur Dreiecksfläche. Dies ist auch auf dem Erdellipsoid für die Praxis der Geodäsie genau genug. Der Ersatz von Kugeldreiecken durch ebene Dreiecke wird allerdings schon ab etwa 10 km zu ungenau.