Drei-Dreiecke-Tangram – einfach erklärt

Grundidee

Das Drei-Dreiecke-Tangram, auch Brügner’sche Dreiecke genannt, wurde von dem Mathematiker Georg Brügner († 1998) entwickelt. Es ist ein besonderes Tangram aus nur drei ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken. Aus diesen drei Teilen lässt sich eine maximale Anzahl konvexer Figuren bilden.

Eine konvexe Figur ist eine Figur, bei der keine Einbuchtungen vorkommen: Verbindet man zwei Punkte innerhalb der Figur, liegt die Verbindungsstrecke ganz in der Figur. Im Unterschied zu vielen anderen Tangrams steht beim Drei-Dreiecke-Tangram nicht vor allem das spielerische Legen im Vordergrund, sondern ein mathematischer Zusammenhang zwischen Winkeln, Seitenverhältnissen und der Zahl möglicher Figuren.

Aufbau und Seitenverhältnisse

Das Tangram entsteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken. Diese Dreiecke besitzen zusammen zunächst sechs verschiedene Seiten, die in der Darstellung des Artikels mit a bis f bezeichnet werden. Weil ihre Innenwinkel gleich sind, sind die drei Dreiecke zueinander ähnlich. Ähnliche Figuren haben gleiche Winkel und entsprechende Seiten stehen im gleichen Verhältnis.

Ein besonderer Fall liegt vor, wenn f = c gilt. Dann bestehen die drei Dreiecke zusammen nur noch aus fünf verschiedenen Seiten. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn die Diagonale a zur Seite c im Verhältnis Φ des Goldenen Schnittes steht. Dafür gilt:

sin α = c/a = 1/Φ ≈ 0,618.

Für den zugehörigen Winkel ergibt sich:

α ≈ 38,17°.

Besonderer Winkel

Der Winkel α hat im Drei-Dreiecke-Tangram eine besondere Eigenschaft. Es gilt:

cos² α = sin α.

Daraus folgt außerdem:

tan α = cos α.

Für die Seitenverhältnisse des Ausgangsrechteckes ergibt sich damit:

c/b = tan α = cos α = √sin α ≈ 0,786.

Nur bei diesem Seitenverhältnis des Ausgangsrechteckes entsteht das Drei-Dreiecke-Tangram im beschriebenen Sinn, weil nur dann die Anzahl der konvexen Figuren maximal wird.

Mögliche Figuren

Weil die drei Dreiecke im Spezialfall insgesamt nur fünf verschiedene Seiten haben, gibt es besonders viele Möglichkeiten, sie wieder zu Figuren zusammenzusetzen. Insgesamt lassen sich genau 16 verschiedene konvexe Figuren bilden.

Diese 16 Figuren sind: zwei Rechtecke, zwei gleichschenklige Dreiecke, zwei Parallelogramme, drei Trapeze, zwei Drachenvierecke, ein allgemeines Viereck und vier Fünfecke. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit jeweils parallelen gegenüberliegenden Seiten. Ein Trapez besitzt mindestens ein Paar paralleler Seiten. Ein Drachenviereck hat zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten.