Doppelpyramide

Aufbau und grundlegende Eigenschaften

Eine n-eckige Doppelpyramide, auch Bipyramide oder Dipyramide genannt, ist ein Polyeder. Sie entsteht, indem eine n-eckige Pyramide und ihr Spiegelbild an den Grundflächen miteinander verklebt werden. Dadurch besitzt sie zwei gegenüberliegende Spitzen.

Das gemeinsame n-Eck ist keine Seitenfläche der Doppelpyramide. Es liegt im Inneren, in der Symmetrieebene zwischen den beiden Pyramiden. Die Doppelpyramide hat 2+n Ecken, 3·n Kanten und eine Oberfläche aus 2·n Dreiecken. Die beiden Spitzen und die Eckpunkte des gemeinsamen n-Ecks bilden somit die wesentlichen Bestandteile des Körpers.

Regelmäßige Formen und Symmetrien

Eine regelmäßige Doppelpyramide entsteht, wenn die erzeugende Pyramide regelmäßig ist. Ihre Grundfläche ist dann ein regelmäßiges Vieleck. Außerdem schneidet die Gerade durch die beiden Spitzen die Grundfläche senkrecht. Die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke.

Eine solche Doppelpyramide kann auf eine Kugel oder Sphäre projiziert werden: Die beiden Spitzen werden auf zwei gegenüberliegende Punkte, die Pole, abgebildet. Das regelmäßige n-Eck liegt auf dem Äquator um die Achse durch die Pole. Die Kanten an den Spitzen werden zu gleichabständigen Längenkreisen durch die Pole; diese schneiden den Äquator jeweils senkrecht. Die ebenen Seitenflächen werden dabei zu sphärischen Dreiecken.

Die Symmetriegruppe einer regelmäßigen n-eckigen Doppelpyramide ist Dₙₕ und hat die Ordnung 4·n. Sie ist das direkte Produkt der Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe, die durch die Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse erzeugt wird. Die Drehgruppe ist Dₙ mit der Ordnung 2·n. Eine Ausnahme bildet das Oktaeder: Seine Symmetriegruppe ist die Oktaedergruppe Oₕ der Ordnung 48, seine Drehgruppe die Oktaedergruppe O der Ordnung 24. Diese ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S₄, also zur Gruppe der 4! = 24 Permutationen der vier Raumdiagonalen.

Formeln für regelmäßige Doppelpyramiden

Für die Formeln wird ein regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und der Höhe h einer Spitze über dieser Grundfläche verwendet. Die wichtigsten Größen lauten:

• Volumen: V = (n·a²·h/6)·cot(π/n).
• Oberflächeninhalt: A = (n·a/2)·√(4·h² + a²·cot²(π/n)).
• Steilkantenlänge: l = √(h² + a²/(4·sin²(π/n))).
• Inkugelradius: rᵢ = a·h / √(a² + 4·h²·tan²(π/n)).
• Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche: α = ((n−2)/n)·180°.
• Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke: α₁ = α₂ = arctan((1/a)·√(4·h² + a²·cot²(π/n))).
• Innenwinkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke: α₃ = 2·arctan(a/√(4·h² + a²·cot²(π/n))).
• Diederwinkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken: β₁ = arctan(2·h·tan(π/n)/a).
• Diederwinkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken: β₂ = 2·arctan((1/(2·h))·√((4·h²·sin²(π/n)+a²)/(tan²(π/n)−sin²(π/n)))).

Für n = 4 gelten die vereinfachten Formeln V = 2·a²·h/3, A = 2·a·√(4·h²+a²), l = √(h²+a²/2), rᵢ = a·h/√(a²+4·h²), α = 90°, α₁ = α₂ = arctan((1/a)·√(4·h²+a²)), α₃ = 2·arctan(a/√(4·h²+a²)), β₁ = arctan(2·h/a) und β₂ = 2·arctan((1/(2·h))·√(4·h²+2·a²)).

Für n = 3 gelten V = a²·h·√3/6, A = (3·a/2)·√(4·h²+a²/3), l = √(h²+a²/3), rᵢ = a·h/√(a²+12·h²), α = 60°, α₁ = α₂ = arctan((1/a)·√(4·h²+a²/3)), α₃ = 2·arctan(a/√(4·h²+a²/3)), β₁ = arctan(2·√3·h/a) und β₂ = 2·arctan((1/(3·h))·√(3·h²+a²)).

Die Herleitungen verwenden vor allem den Satz des Pythagoras, trigonometrische Sätze und Sätze zum Arkustangens. Der Raumwinkel am Äquator ist wegen der Spiegelsymmetrie doppelt so groß wie der entsprechende Raumwinkel in einer Spitze der erzeugenden Pyramide. Mit dem Satz von L’Huilier wird er als Ω₁ = 8·arctan(√(tan((2·α₁+α)/4)·tan((2·α₁−α)/4)·tan²(α/4))) berechnet.

Der Raumwinkel in einer Spitze, an der n Seitenflächen zusammentreffen, kann ebenfalls mit dem Satz von L’Huilier bestimmt werden. Dazu wird die regelmäßige Pyramide in n kongruente, nicht regelmäßige Tetraeder zerlegt. Der Umkreisradius der Grundfläche ist Rᵤ = a/(2·sin(π/n)). Alternativ kann die Formel von H. C. Rajpoot für rotationssymmetrische Ecken-Raumwinkel verwendet werden. Für die regelmäßigen Pyramiden und Doppelpyramiden sind die Innenwinkel der in einer Ecke zusammentreffenden Seitenflächen gleich groß. Der Raumwinkel in der Spitze wird mit Ω₂ = 4·n·arctan(√(tan((2·γ₂+α₃)/4)·tan((2·γ₂−α₃)/4)·tan²(α₃/4))) angegeben.

Drei gleichkantige Doppelpyramiden

Nur drei Arten können so gestaltet werden, dass alle Kanten dieselbe Länge haben. Dann sind alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke: die dreieckige, die viereckige und die fünfeckige Doppelpyramide. Diese drei Körper sind Deltaeder.

• Für n = 3 und h = (a/3)·√6 entsteht die regelmäßige Dreiecks-Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken. Sie ist der Johnson-Körper J₁₂ und besteht aus zwei regelmäßigen Tetraedern.
• Für n = 4 und h = (a/2)·√2 entsteht die quadratische Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, also das Oktaeder.
• Für n = 5 und h = (a/10)·√(50−10·√5) entsteht die regelmäßige Fünfecks-Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken. Sie ist der Johnson-Körper J₁₃; ihre beiden Hälften sind regelmäßige Pyramiden und Teile des Ikosaeders.

Das Oktaeder gehört zu den platonischen Körpern. Die dreieckige und die fünfeckige Doppelpyramide gehören zu den Johnson-Körpern J₁₂ und J₁₃.

Gerade Doppelpyramide und Volumen

Ist die erzeugende Pyramide eine gerade Pyramide, spricht man von einer geraden Doppelpyramide. Der duale Körper einer geraden Doppelpyramide ist ein gerades Prisma; umgekehrt ist der duale Körper eines geraden Prismas eine gerade Doppelpyramide. Als Beispiel sind Würfel und Oktaeder zueinander dual: Der Würfel ist der Dualkörper des Oktaeders, und das Oktaeder ist der Dualkörper des Würfels.

Das Volumen jeder Doppelpyramide beträgt V = (2/3)·G·h. Dabei ist G der Flächeninhalt der Grundfläche der erzeugenden Pyramide und h die Höhe einer Spitze über dieser Grundfläche. Die Formel gilt unabhängig davon, ob die Doppelpyramide gerade ist. Entscheidend ist, dass h als orthogonaler Abstand der Spitze von der Ebene bestimmt wird, in der die gemeinsame Grundfläche liegt.