Dispersionsmaß (Stochastik)

Grundidee und Bedeutung

Ein Dispersionsmaß, auch Streuungsmaß oder Streuungsparameter genannt, ist in der Stochastik eine Kennzahl der Verteilung einer Zufallsvariable beziehungsweise eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Es beschreibt, wie stark die möglichen Werte um einen typischen Wert streuen. Dieser typische Wert wird durch ein Lagemaß angegeben, zum Beispiel durch den Erwartungswert oder den Median.

Die Varianz ist das bekannteste Dispersionsmaß. Je nach verwendetem Lagemaß und je nach mathematischer Konstruktion gibt es jedoch verschiedene Dispersionsmaße. Sie können beispielsweise Abstände quadrieren, absolute Abstände betrachten oder Quantile verwenden.

Dispersionsmaße um den Erwartungswert

Viele Dispersionsmaße beziehen sich auf den Erwartungswert E(X). Sie beruhen meist auf Momenten zweiter Ordnung, seltener auf Momenten erster oder höherer Ordnung.

Die wichtigsten Beispiele sind:

• Die Varianz ist das zentrierte zweite Moment: Var(X) = E((X − E(X))²). Durch das Quadrieren werden positive und negative Abweichungen gleich behandelt.

• Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σₓ = √Var(X).

• Der Variationskoeffizient ist das Verhältnis von Standardabweichung und Erwartungswert: VarK(X) = √Var(X) / E(X).

Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient greifen auf das zweite Moment zurück. Ein Dispersionsmaß, das nur das erste Moment verwendet, ist der mittlere absolute Abstand: mad(X) = E(|X − E(X)|). Er ist das absolute zentrierte erste Moment.

Dispersionsmaße um den Median

Dispersionsmaße um den Median werden meist mithilfe der Quantilfunktion Q definiert. Der Median ist selbst ein Quantil, nämlich das 0,5-Quantil.

Der Interquartilsabstand, englisch interquartile range und abgekürzt IQR, ist die Differenz zwischen dem 0,75- und dem 0,25-Quantil: δ_Q := Q(0,75) − Q(0,25). Anschaulich bezeichnet er die Breite des Intervalls, in dem sich die mittleren 50 % der Wahrscheinlichkeit befinden. Allgemeiner kann für p ∈ (0; 0,5) die Differenz Q(1 − p) − Q(p) gebildet werden. Sie gibt die Breite des Intervalls an, in dem die mittleren 200p % der Wahrscheinlichkeit liegen. Dieses Maß heißt Interquantilsabstand.

Die mittlere absolute Abweichung, englisch median absolute deviation oder MedMed, abgekürzt MAD, ist definiert durch P(|X − x̃| ≤ MAD) = 0,5. Dabei bezeichnet x̃ den Median.

Die mittlere absolute Abweichung vom Median, englisch mean deviation from the median und abgekürzt MD, ist definiert durch MD = E[|X − x̃|]. Sie ist somit der erwartete absolute Abstand der Zufallsvariable vom Median.

Mehrdeutigkeiten und Beziehung zur deskriptiven Statistik

Der Begriff Dispersionsmaß wird nicht überall eindeutig verwendet. Eine Mehrdeutigkeit entsteht bei Verteilungsklassen, die durch einen oder mehrere reelle Parameter beschrieben werden. Bei der Normalverteilung bestimmen die beiden Parameter μ und σ² die Verteilung; σ² bestimmt dabei die Varianz und wird deshalb auch Streuparameter genannt. Nicht jede Verteilung besitzt jedoch einen Parameter, der ihre Streuung festlegt. Selbst wenn ein solcher Formparameter für die Breite der Verteilung existiert, muss er nicht mit dem gewählten Dispersionsmaß übereinstimmen.

Eine zweite Mehrdeutigkeit entsteht beim Übergang zur deskriptiven Statistik. Dort sind Dispersionsmaße Kennzahlen einer Stichprobe, während die hier behandelten Dispersionsmaße Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsmaßen, also Mengenfunktionen, sind. In der deskriptiven Statistik ist beispielsweise die Spannweite ein Dispersionsmaß. Sie ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert einer Stichprobe. Dieses Konzept lässt sich nicht ohne Weiteres auf Wahrscheinlichkeitsmaße übertragen. Zusätzlich werden häufig dieselben Bezeichnungen für Stichprobenkennzahlen und für Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet, etwa beim Interquartilsabstand und bei der Standardabweichung.

Die Verbindung zwischen beiden Sichtweisen stellt die empirische Verteilung her. Für eine Stichprobe x = (x₁, x₂, …, xₙ) ist die Varianz ihrer empirischen Verteilung die unkorrigierte Stichprobenvarianz: s̃² = (1/n) · Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x̄)². Ebenso entsprechen Standardabweichung und Variationskoeffizient der empirischen Verteilung der empirischen Standardabweichung beziehungsweise dem empirischen Variationskoeffizienten der Stichprobe. Da sich auch die Quantile übertragen, ist der Interquartilsabstand beziehungsweise Interquantilsabstand der empirischen Verteilung gleich dem entsprechenden Interquartilsabstand beziehungsweise Interquantilsabstand der Stichprobe.