Median (Stochastik)

Grundidee und formale Definition

Der Median, auch Zentralwert genannt, ist in der Stochastik ein Lagemaß für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Verteilungen von Zufallsvariablen. Er beschreibt wie Erwartungswert und Modus, wo die „Mitte“ einer Verteilung liegt. Anschaulich ist der Median eine Zahl, bei der die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich dieser Zahl zu erhalten, und die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer oder gleich dieser Zahl zu erhalten, jeweils mindestens die Hälfte beträgt.

Für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf (R, B(R)) heißt eine reelle Zahl m ein Median, wenn P((-∞, m]) ≥ 1/2 und P([m, +∞)) ≥ 1/2 gilt. Für eine reelle Zufallsvariable X heißt m ein Median, wenn P(X ≤ m) ≥ 1/2 und P(m ≤ X) ≥ 1/2 gilt. Der Median einer Zufallsvariable X ist damit genau der Median ihrer Verteilung P_X.

Über die Verteilungsfunktion F lässt sich dieselbe Idee so ausdrücken: m ist ein Median, wenn lim_{t→m-} F(t) ≤ 1/2 ≤ F(m) gilt. Der Ausdruck lim_{t→m-} F(t) bezeichnet den linksseitigen Grenzwert von F an der Stelle m.

Bestimmung mit Verteilungsfunktion und Dichte

Ist die Verteilungsfunktion F stetig, dann ist m genau dann ein Median, wenn m eine Lösung der Gleichung F(m) = 1/2 ist. Das liegt daran, dass bei stetigem F der linksseitige Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Hat eine Zufallsvariable oder Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, also eine absolutstetige Verteilung, dann ist ein Median m eine Lösung der Gleichung ∫_{-∞}^{m} f(x) dx = 1/2. Dies ist ein Spezialfall der Methode über die Verteilungsfunktion, weil absolutstetige Verteilungen eine stetige Verteilungsfunktion besitzen, die durch ein Integral bestimmt wird.

Mehrere Mediane können auftreten. Bei stetiger Verteilungsfunktion geschieht das zum Beispiel, wenn F auf einem ganzen Intervall den Wert 1/2 annimmt. Bei Dichtefunktionen kann Mehrdeutigkeit entstehen, wenn die Dichte auf einem Intervall konstant Null ist.

Beispiele

Bei der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0 lautet die Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e^{-λx} für x ≥ 0 und F(x) = 0 für x < 0. Aus F(m) = 1/2 ergibt sich die Gleichung 1/2 = e^{-λm}. Die Lösung ist m = ln 2 / λ. In diesem Fall ist der Median eindeutig.

Bei der Cantor-Verteilung ist die Verteilungsfunktion stetig, aber der Median ist nicht eindeutig: Aufgrund ihrer Konstruktion nimmt sie auf dem gesamten Intervall [1/3, 2/3] den Wert 1/2 an. Jeder Punkt in diesem Intervall ist daher ein Median. Eindeutig ist der Median bei stetiger Verteilungsfunktion zum Beispiel dann, wenn die Verteilungsfunktion streng monoton wachsend ist; es genügt bereits, wenn sie in einer Umgebung, in der sie den Wert 1/2 annimmt, streng monoton wachsend ist.

Ein Beispiel mit Dichtefunktion ist eine Verteilung, deren Dichte f(x) außerhalb von (-1, 1] gleich 0 ist, auf (-1, -1/2] und (1/2, 1] jeweils den Wert 1/2 hat und auf (-1/2, 1/2] gleich 0 ist. Dann ist jeder Wert in [-1/2, 1/2] ein Median.

Eindeutige Definition und Quantile

Um eine eindeutige Auswahl zu erhalten, kann der Median über die Verteilungsfunktion F als m = inf {x ∈ R | F(x) ≥ 1/2} definiert werden. Wegen der Rechtsstetigkeit von Verteilungsfunktionen kann das Infimum in dieser Definition auch durch ein Minimum ersetzt werden.

Äquivalent dazu kann man die Quantilfunktion Q zu F verwenden und den Median als m := Q(1/2) definieren. In diesem Sinn ist der Median ein Quantil, genauer das 50-%-Quantil.

Wichtige Eigenschaften

Bei symmetrischen Verteilungen ist die Symmetrieachse ein Median. Insbesondere gilt: Ist die Verteilung symmetrisch mit P_{-X} = P_X, dann ist 0 ein Median.

Jeder Median minimiert die absolute Abweichung. Ist X eine Zufallsvariable mit E(|X|) < ∞, dann gilt für jeden Median m und alle a ∈ R: E(|X - a|) ≥ E(|X - m|). Gleichheit gilt genau dann, wenn auch a ein Median ist. Der Median ist also der Wert, bei dem die erwartete absolute Entfernung zu X möglichst klein ist.

Beziehung zur deskriptiven Statistik und alternative Definitionen

In der deskriptiven Statistik wird der Median für eine Stichprobe definiert, während der stochastische Median eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Beide Begriffe sind daher nicht dasselbe, lassen sich aber über die empirische Verteilung verbinden: Ist eine Stichprobe x = (x_1, x_2, ..., x_n) gegeben und E_x die empirische Verteilung auf x, dann ist ein Median von E_x im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn auch ein Median der Stichprobe im deskriptiven Sinn. Wegen unterschiedlicher Definitionen kann es jedoch leichte Abweichungen geben.

Weitere direkte Definitionen lauten: Der Median sei der Wert m mit P(X ≤ m) = 1/2 = P(X ≥ m), oder er sei F^{-1}(1/2). Diese Definitionen garantieren aber nicht immer die Existenz eines Medians. Beispiel: Wenn P(X = 0) = 0,2 = 1 - P(X = 1), dann ist F^{-1}(1/2) = ∅, weil die Verteilungsfunktion nie den Wert 1/2 annimmt. Außerdem gibt es kein m, das die Gleichung P(X ≤ m) = 1/2 = P(X ≥ m) erfüllt: Für alle m < 1 gilt P(X ≤ m) < 1/2, und für alle m ≥ 1 gilt P(X ≤ m) = 1.

Zu beachten ist auch, dass Verteilungsfunktionen in älterer russischsprachiger Literatur linksstetig definiert werden, während sie im deutschen Sprachraum rechtsstetig definiert sind. Beim fairen Münzwurf kann dadurch zum Beispiel F^{-1}(1/2) = (0,1] statt F^{-1}(1/2) = [0,1) auftreten.