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Variationskoeffizient
Der Variationskoeffizient (auch: Abweichungskoeffizient) ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik.
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Grundidee und Bedeutung
Der Variationskoeffizient, auch Abweichungskoeffizient sowie teilweise Vco oder CV genannt, ist eine statistische Kenngröße der deskriptiven und mathematischen Statistik. Er beschreibt die Streuung relativ zum Mittelwert beziehungsweise Erwartungswert. Anders als Varianz und Standardabweichung hängt er deshalb nicht von der Maßeinheit der statistischen Variable oder Zufallsvariablen ab.
Das relative Maß ist wichtig, weil Größen mit einem hohen Mittelwert im Allgemeinen auch eine größere absolute Streuung besitzen. Ohne den Mittelwert lässt sich daher oft nicht sinnvoll beurteilen, ob eine Varianz oder Standardabweichung groß oder klein ist. Der Variationskoeffizient normiert die Streuung: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert beziehungsweise Erwartungswert, ist der Variationskoeffizient größer als 1. Häufig wird er in Prozent angegeben.
Sinnvoll ist die Kennzahl nur für Messreihen mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Werten oder für entsprechende Vergleiche von Messreihen. Eine robuste Alternative, die weniger empfindlich gegenüber einzelnen extremen Werten ist, ist der Quartilsdispersionskoeffizient.
Zufallsvariablen
Für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X) ≠ 0 ist der Variationskoeffizient VarK als relative Standardabweichung definiert:
VarK(X) = Standardabweichung(X) / Erwartungswert(X) = √Var(X) / E(X).
Dabei bezeichnet Var(X) die Varianz von X. Die Standardabweichung √Var(X) misst die absolute Streuung, während die Division durch den Erwartungswert diese Streuung relativ zur typischen Größe der Zufallsvariablen ausdrückt. Bei E(X) = 0 ist der Variationskoeffizient wegen der Division durch null nicht definiert.
Quadrierter Variationskoeffizient
Die Varianz der normierten Zufallsgröße X/E(X) heißt quadrierter Variationskoeffizient. Sie wird mit SCV oder c_X² bezeichnet und ist wie der gewöhnliche Variationskoeffizient unabhängig von der Dimension beziehungsweise Maßeinheit, in der X gemessen wird.
Es gilt:
SCV = c_X² = Var(X/E(X)) = {E(X²) − [E(X)]²} / [E(X)]² = E(X²) / [E(X)]² − 1.
Berechnung aus Messreihen
Ist keine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben, sondern eine konkrete Messreihe x₁, …, xₙ, wird der empirische Variationskoeffizient berechnet. Er ist der Quotient aus der empirischen Standardabweichung s und dem arithmetischen Mittel x̄:
v = s/x̄, mit x̄ > 0.
Für nichtnegative Messwerte xᵢ ≥ 0 kann außerdem ein normierter Variationskoeffizient definiert werden:
v* = v/√n.
Für ihn gilt 0 ≤ v* ≤ 1. Wird die empirische Standardabweichung nicht aus der korrigierten Stichprobenvarianz berechnet, also s̃ statt s verwendet, muss im Nenner von v* √(n−1) anstelle von √n stehen.
Alternative robuste und beschränkte Maße
Der empirische Variationskoeffizient zweiter Ordnung verwendet Schätzwerte μ̂ für den Mittelwert und σ̂² für die Varianz:
V₂ = √[σ̂²/(σ̂² + μ̂²)].
Dieses Maß ist auf den Bereich von 0 bis 1 beschränkt. Der Wert 0 steht für keine Varianz. Der Wert nähert sich 1 bei maximaler relativer Varianz, also wenn σ̂ im Vergleich zu μ̂ sehr groß ist.
Der empirische Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten:
vᵣ = (x₀,₇₅ − x₀,₂₅)/x₀,₅.
Dabei sind x₀,₂₅ und x₀,₇₅ das untere und obere Quartil; ihre Differenz ist der Interquartilsabstand. x₀,₅ ist der Median. Der Quartilsdispersionskoeffizient teilt somit den Interquartilsabstand durch den Median.
Typisches Beispiel
Der Nutzen der relativen Betrachtung zeigt sich beim Vergleich unterschiedlich großer Werte: Der Preis für ein Pfund Salz liegt im Durchschnitt bei etwa 50 Cent und schwankt im Cent-Bereich. Der Preis eines Autos liegt im Beispiel im Mittel bei 20.000 Euro und variiert im 1000-Euro-Bereich. Die absoluten Schwankungen allein sind deshalb ohne Bezug zum jeweiligen Mittelwert schlecht vergleichbar.
Ein mathematisches Beispiel zeigt zugleich die notwendige Bedingung E(X) ≠ 0: Ist X standardnormalverteilt, besitzt X den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1. Der Variationskoeffizient ist dann wegen der Division durch null nicht definiert. Für die verschobene Zufallsvariable X + 1000 bleibt die Standardabweichung 1, während der Erwartungswert 1000 beträgt. Ihr Variationskoeffizient ist daher 1/1000 = 0,001.
