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Orthogonale Matrix
Orthogonale Matrizen stellen Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum, also Drehungen, Spiegelungen und Kombinationen daraus, dar. Jede orthogonale Abbildung …
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Begriff und geometrische Bedeutung
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische reelle Matrix Q\in\mathbb{R}^{n\times n}, für die Q^{\mathsf T}Q=I gilt. Q^{\mathsf T} ist die transponierte Matrix und I die Einheitsmatrix. Sind q_1,\ldots,q_n die Spalten von Q, so bedeutet dies q_i^{\mathsf T}q_j=\delta_{ij}=\begin{cases}1&\text{falls }i=j\\0&\text{sonst.}\end{cases} Die Spalten bilden also eine Orthonormalbasis von \mathbb{R}^n: Sie sind paarweise orthogonal und haben jeweils Länge eins. Dasselbe gilt für die Zeilen, denn auch Q^{\mathsf T} ist orthogonal und QQ^{\mathsf T}=I gilt. Bloße paarweise Orthogonalität reicht nicht aus; die Vektoren müssen zusätzlich normiert sein.
Orthogonale Matrizen beschreiben Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum, insbesondere Drehungen, Spiegelungen und ihre Kombinationen. Bei der Multiplikation eines Vektors mit Q bleiben seine Länge sowie Winkel und Skalarprodukte zwischen Vektoren erhalten. Der entsprechende Begriff für komplexe Matrizen lautet unitäre Matrix.
Typische Matrizen
Ein einfaches Beispiel ist \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. Ihr Produkt mit ihrer Transponierten ist I. Auch \frac15\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix} ist orthogonal, weil beim Produkt mit der Transponierten \frac1{25}\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}=I entsteht.
Permutationsmatrizen sind orthogonal: In jeder Zeile und Spalte steht genau eine 1, alle übrigen Einträge sind 0. Für die zu einer Permutation \pi gehörige Matrix gilt P_\pi^{\mathsf T}=P_{\pi^{-1}} und damit P_\pi^{\mathsf T}P_\pi=I. Vorzeichenbehaftete Permutationsmatrizen mit genau einem Eintrag +1 oder -1 je Zeile und Spalte sind genau die ganzzahligen orthogonalen Matrizen.
Die Drehmatrix in der Ebene R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix} ist wegen \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 orthogonal. Ebenso sind Drehungen in beliebigen Ursprungsebenen höherdimensionaler Räume orthogonal. Für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit Einheits-Normalenvektor n gilt S_n=I-2nn^{\mathsf T}. Sie ist orthogonal, weil sie symmetrisch ist und n^{\mathsf T}n=1 gilt. Das gilt entsprechend für Spiegelungen an Unterräumen, etwa Hyperebenen.
Wichtige Eigenschaften
Orthogonale Matrizen sind regulär, und ihre Inverse ist genau die Transponierte: Q^{-1}=Q^{\mathsf T}. Umgekehrt ist jede Matrix orthogonal, deren Transponierte ihrer Inversen entspricht.
Für x,y\in\mathbb{R}^n gilt \|Qx\|_2=\|x\|_2\quad\text{und}\quad\langle Qx,Qy\rangle=\langle x,y\rangle. Daher bleiben Längen und Winkel erhalten. Jede winkeltreue lineare Abbildung im euklidischen Raum hat bezüglich der Standardbasis eine orthogonale Abbildungsmatrix; aufgrund der Polarisationsformel ist auch jede längentreue Abbildung winkeltreu.
Die Determinante erfüllt |\det Q|=1, also \det Q=1 oder \det Q=-1. Bei \det Q=1 spricht man von einer eigentlich oder speziellen orthogonalen Matrix; sie entspricht einer Drehung. Bei \det Q=-1 liegt eine uneigentlich orthogonale Matrix vor, die eine Drehspiegelung darstellt. Der Umkehrschluss gilt nicht: Nichtorthogonale unimodulare Matrizen können ebenfalls Determinante +1 oder -1 besitzen.
Eigenwerte müssen nicht reell sein, haben aber stets komplexen Betrag eins: \lambda=e^{it}\quad\text{mit }t\in\mathbb{R}. Als reelle Eigenwerte sind daher nur +1 und -1 möglich. Nichtreelle Eigenwerte treten paarweise komplex konjugiert auf; deshalb besitzt eine orthogonale Matrix ungerader Dimension mindestens einen reellen Eigenwert. Orthogonale Matrizen sind normal und über \mathbb{C} unitär diagonalisierbar. Über \mathbb{R} sind sie im Allgemeinen nicht diagonalisierbar, lassen sich aber orthogonal in eine Blockdiagonalmatrix mit 2\times2-Drehmatrizen sowie Blöcken +1 oder -1 überführen.
Ihre Spektralnorm ist \|Q\|_2=1, ihre Frobeniusnorm \|Q\|_F=\sqrt n. Die Multiplikation von A mit Q erhält beide Normen und damit auch die Kondition von A bezüglich dieser Normen.
Orthogonale Gruppe
Alle orthogonalen Matrizen der Größe n\times n bilden unter Matrizenmultiplikation die orthogonale Gruppe \mathrm{O}(n), eine Untergruppe von \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}). Das neutrale Element ist I. Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal, und auch die Inverse einer orthogonalen Matrix ist orthogonal.
Die Matrizen mit Determinante 1 bilden die Drehgruppe beziehungsweise spezielle orthogonale Gruppe \mathrm{SO}(n). Ihre Elemente heißen spezielle orthogonale Matrizen. \mathrm{SO}(n) ist eine Lie-Gruppe. Die orthogonalen Matrizen mit Determinante -1 bilden keine Untergruppe, sondern nur eine Nebenklasse, da sie das neutrale Element nicht enthalten.
Numerische und weitere Anwendungen
Ein lineares Gleichungssystem Qx=b mit orthogonaler Koeffizientenmatrix lässt sich direkt durch x=Q^{\mathsf T}b lösen. Dies benötigt nur eine Matrix-Vektor-Multiplikation mit Aufwand O(n^2), während die Gauß-Elimination für allgemeine Systeme Aufwand O(n^3) benötigt. Genutzt wird dies unter anderem bei der reellen diskreten Fourier-Transformation und der diskreten Kosinus-Transformation.
Bei der QR-Zerlegung wird eine Matrix A\in\mathbb{R}^{m\times n} als A=QR mit orthogonalem Q\in\mathbb{R}^{m\times m} und oberer Dreiecksmatrix R\in\mathbb{R}^{m\times n} dargestellt. Q kann durch Givens-Rotationen oder Householdertransformationen konstruiert werden. QR-Zerlegungen dienen unter anderem für schlecht konditionierte, überbestimmte oder unterbestimmte Gleichungssysteme sowie für den QR-Algorithmus bei Eigenwertproblemen.
Die Singulärwertzerlegung lautet A=U\Sigma V^{\mathsf T}, wobei U und V orthogonal sind und die Diagonaleinträge von \Sigma die Singulärwerte von A sind. Anwendungen sind die Hauptachsentransformation von Quadriken und die Hauptkomponentenanalyse. Bei der Polarzerlegung einer quadratischen Matrix gilt A=QP, wobei Q orthogonal und P symmetrisch positiv semidefinit ist.
In einem reellen Skalarproduktraum ist die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis genau dann orthogonal, wenn die Abbildung Skalarprodukte erhält. Entfernt man bei einer orthogonalen 3\times3-Matrix die unterste Zeile, erhält man die Matrix einer linearen Abbildung \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, die eine orthogonale Axonometrie beschreibt.