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Chiralität (Mathematik)
In der Geometrie ist eine Figur chiral (und hat Chiralität), wenn sie nicht mit ihrem Spiegelbild identisch ist, oder genauer gesagt, wenn sie nicht allein …
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Grundidee
In der Geometrie heißt eine Figur chiral, wenn sie nicht mit ihrem Spiegelbild identisch ist. Genauer: Sie ist chiral, wenn sie nicht allein durch Drehungen und Parallelverschiebungen auf ihr Spiegelbild abgebildet werden kann. Eine nicht chirale Figur heißt achiral.
Ein chirales Objekt und sein Spiegelbild bilden zwei enantiomorphe Formen. Sie besitzen entgegengesetzte Händigkeit, ähnlich wie eine linke und eine rechte Hand. Chiralität kann sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen auftreten. Dabei hängt sie davon ab, welche Bewegungen im betrachteten Raum erlaubt sind.
Typische Beispiele
Linke und rechte Fußabdrücke sind in einer Ebene enantiomorph: Sie sind Spiegelbilder voneinander, enthalten aber einzeln keine Spiegelsymmetrie. In drei Dimensionen bilden linke und rechte Hände, Schuhe oder gewöhnliche Handschuhe ebenfalls enantiomorphe Paare. Manche dünnen Einweghandschuhe gelten dagegen nicht als chiral, wenn sie von innen nach außen gedreht und dadurch in die jeweils andere Form überführt werden können.
Bei dreidimensionalen chiralen Objekten wie einer Helix kann man mithilfe der Drei-Finger-Regel zwischen Rechts- und Linkshändigkeit unterscheiden. Auch Spielwürfel können als chirales, enantiomorphes Paar gestaltet sein.
In zwei Dimensionen sind die J- und L-förmigen sowie die S- und Z-förmigen Tetrominos aus Tetris jeweils enantiomorph. Ein S-Tetromino kann innerhalb der Ebene durch Drehungen und Verschiebungen nicht in ein Z-Tetromino überführt werden. Die einzelnen Formen besitzen keine Spiegelachse in der Ebene.
Symmetrie und Orientierung
Eine Figur ist genau dann achiral, wenn ihre Symmetriegruppe mindestens eine orientierungsumkehrende Isometrie enthält. Eine Symmetriegruppe umfasst alle längen- und winkeltreuen Abbildungen, unter denen die Figur unverändert bleibt. Eine Isometrie ist eine solche Abbildung des Raumes.
In der euklidischen Geometrie lässt sich jede Isometrie in der Form v ↦ Av + b schreiben. Dabei ist A eine orthogonale Matrix und b ein Vektor. Für die Determinante von A gilt det(A) = 1 oder det(A) = −1. Bei det(A) = −1 kehrt die Isometrie die Orientierung um; bei det(A) = 1 erhält sie die Orientierung. Enthält die Symmetriegruppe keine orientierungsumkehrende Isometrie, ist die Figur chiral.
Dreidimensionale Figuren
In drei Dimensionen ist jede Figur achiral, die eine Spiegelsymmetrieebene S₁, ein Inversions-Symmetriezentrum S₂ oder eine höhere Drehspiegelungssymmetrie Sₙ besitzt. Eine Symmetrieebene P liegt vor, wenn die Figur F bei geeigneter Wahl von P als x-y-Ebene unter der Spiegelung (x,y,z) ↦ (x,y,−z) unverändert bleibt. Ein Symmetriezentrum C liegt vor, wenn F bei Wahl von C als Ursprung unter der Punktspiegelung (x,y,z) ↦ (−x,−y,−z) invariant ist.
Eine achirale Figur muss jedoch weder eine Symmetrieebene noch ein Symmetriezentrum besitzen. Ein Beispiel ist F₀ = {(1,0,0),(0,1,0),(−1,0,0),(0,−1,0),(2,1,1),(−1,2,−1),(−2,−1,1),(1,−2,−1)}. Diese Figur bleibt unter der orientierungsumkehrenden Isometrie S₄ mit (x,y,z) ↦ (−y,x,−z) unverändert. Deshalb ist sie achiral, obwohl sie weder eine Symmetrieebene noch ein Symmetriezentrum besitzt.
Die Figur F₁ = {(1,0,0),(−1,0,0),(0,2,0),(0,−2,0),(1,1,1),(−1,−1,−1)} besitzt ein Symmetriezentrum und ist daher unter S₂ invariant. Sie hat keine Symmetrieebene und ist somit nicht spiegelsymmetrisch, aber dennoch achiral. Bei unendlich ausgedehnten Figuren kann Achiralität außerdem durch Invarianz unter einer Gleitspiegelung entstehen. Eine Gleitspiegelung verbindet eine Spiegelung mit einer Verschiebung entlang der Spiegelebene.
Zweidimensionale Figuren
In zwei Dimensionen ist jede Figur mit einer Symmetrieachse achiral. Umgekehrt besitzt jede begrenzte achirale Figur eine Symmetrieachse. Eine Gerade G ist eine Symmetrieachse der Figur F, wenn F bei geeigneter Wahl von G als x-Achse unter der Spiegelung (x,y) ↦ (x,−y) unverändert bleibt.
Daraus folgt für Dreiecke: Ein gleichseitiges oder gleichschenkliges Dreieck ist achiral, weil es mindestens eine Symmetrieachse besitzt. Ein ungleichseitiges Dreieck ist chiral.
Auch eine farbige Halskette kann als ebenes Muster chiral sein. Eine achirale Halskette lässt sich auf einem Tisch durch Drehen in ihr Spiegelbild überführen. Eine chirale Halskette müsste dagegen hochgenommen und im dreidimensionalen Raum gedreht werden. Das zeigt, dass Chiralität vom betrachteten Raum abhängt.
Für unbegrenzte Figuren gilt die Umkehrung mit der Symmetrieachse nicht immer. Ein endliches Muster kann chiral sein, weil es nicht mit seinem Spiegelbild übereinstimmt. Wird es jedoch in beide Richtungen unendlich fortgesetzt, kann eine achirale Figur ohne Symmetrieachse entstehen. Ihre Symmetriegruppe ist dann eine Friesgruppe, die von einer einzigen Gleitspiegelung erzeugt wird.
Chiralität von Knoten
In der Knotentheorie heißt ein Knoten achiral, wenn er kontinuierlich in sein Spiegelbild verformt werden kann. Ist dies nicht möglich, handelt es sich um einen chiralen Knoten. Die Verformung darf den Knoten verändern, aber nicht zerschneiden oder neu verbinden.
Der triviale Knoten und der Achterknoten sind achiral. Die Kleeblattschlinge ist dagegen chiral: Sie kann durch kontinuierliche Verformung nicht in ihr Spiegelbild überführt werden.