Drei-Finger-Regel

Grundidee

Die Drei-Finger-Regel ist eine Merkregel, mit der man die relative Orientierung dreier vektorieller Größen bestimmt, die durch ein Kreuzprodukt zusammenhängen. Sie wird meistens für die rechte Hand formuliert und heißt deshalb auch Rechte-Hand-Regel.

Sie ist wichtig, weil viele Größen in Geometrie, Mechanik und Elektromagnetismus eine Richtung haben, die senkrecht zu zwei anderen Richtungen steht. Die drei Finger zeigen dann die drei beteiligten Richtungen an: Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger stehen jeweils für einen Vektor oder eine physikalische Größe.

Kreuzprodukt und Koordinatensysteme

Beim Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum gilt: Wenn sich aus zwei Vektoren ein dritter Vektor ergibt, also {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}}, zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung von {\vec {a}}, der Zeigefinger in Richtung von {\vec {b}}. Daumen und Zeigefinger liegen dabei in einer Ebene mit der Handfläche. Der Mittelfinger steht um 90° ab und zeigt in Richtung des Ergebnisvektors {\vec {c}}.

Die Regel kann auch für die Orientierung orthogonaler Koordinatensysteme verwendet werden. Eine zyklische Permutation der Reihenfolge ist dabei unschädlich. Mit den Einheitsvektoren gilt zum Beispiel: {\hat {x}}\times {\hat {y}}={\hat {z}}\Leftrightarrow {\hat {z}}\times {\hat {x}}={\hat {y}}\Leftrightarrow {\hat {y}}\times {\hat {z}}={\hat {x}}.

Drehimpuls

Bei der Rotation eines Körpers lässt sich die Richtung des Drehimpulses ebenfalls mit der Drei-Finger-Regel bestimmen. Der Drehimpuls ergibt sich aus dem Kreuzprodukt des Radialvektors mit der Tangentialgeschwindigkeit: {\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}.

Dabei stellt die rechte Hand das Drehzentrum dar. Der Daumen zeigt radial nach außen, der Zeigefinger zeigt in Richtung der tangentialen Bewegung des betrachteten Punktes. Der Mittelfinger zeigt dann die Richtung und damit das Vorzeichen des Drehimpulses an.

Auch hier ist eine zyklische Permutation möglich: Der Daumen kann in Richtung des Drehimpulses zeigen, der Zeigefinger vom Drehzentrum weg entlang des Radius, und der Mittelfinger in Richtung der Tangentialbewegung. Der Drehimpuls ist ein Axialvektor, also ein Vektor, der eine Drehebene und eine Drehrichtung repräsentiert.

Lorentzkraft und Stromleiter

Im Elektromagnetismus wird die Drei-Finger-Regel verwendet, um die Richtung der Lorentzkraft zu bestimmen. Diese Kraft wirkt zum Beispiel auf einen frei beweglichen positiven Ladungsträger oder auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld.

Für einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld gilt bei der rechten Hand: Der ausgestreckte Daumen zeigt in Stromrichtung, also in die Bewegungsrichtung positiv geladener Ladungsträger oder entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung negativer Ladungsträger. Der ausgestreckte Zeigefinger zeigt in Richtung der Magnetfeldlinien, also in die Richtung, in die sich der Nordpol eines Probemagneten ausrichtet. Der abgeknickte Mittelfinger steht senkrecht zum Zeigefinger und zeigt in die Wirkungsrichtung der Lorentzkraft.

Für die Lorentzkraft {\vec {F}}_{L} gelten die Formeln: {\vec {F}}_{L}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}}), wobei q die Ladung der Teilchen ist und bei Elektronen q<0 gilt.

Für ein stromdurchflossenes Leiterstück gilt: {\vec {F}}_{L}=I({\vec {l}}\times {\vec {B}}), wobei l das stromdurchflossene Leiterstück bezeichnet.

Für die Richtung des Magnetfeldes einer stromdurchflossenen Spule verweist der Artikel auf die Rechte-Faust-Regel.

Merkregeln im Elektromagnetismus

Die Regel ist im elektromagnetischen Zusammenhang auch als UVW-Regel bekannt. UVW steht für Ursache, Vermittlung und Wirkung. Der Daumen zeigt zur Ursache, zum Beispiel in die technische Stromrichtung I oder in die Bewegungsrichtung einer positiven Ladung q, also entgegen der Bewegungsrichtung der Elektronen. Der Zeigefinger zeigt senkrecht dazu parallel zu den magnetischen Feldlinien und steht für die Vermittlung, also das Magnetfeld {\vec {B}}. Der Mittelfinger zeigt rechtwinklig zu Daumen und Zeigefinger in Richtung der Wirkung, der Lorentzkraft {\vec {F}}_{L}.

Die Ursache kann auch die Relativbewegung eines Leiters im Magnetfeld sein. Dann ist die Wirkung die erzwungene Bewegung der Elektronen entlang des Leiters, also ein elektromagnetisch induzierter elektrischer Strom.

Es gibt außerdem die FBI- oder IBF-Regel. Flemings Linke-Hand-Regel, auch FBI-Regel genannt, verwendet die linke Hand; die IBF-Regel verwendet die rechte Hand. Die Buchstaben stehen für die beteiligten Größen: Strom {\vec {I}}, Magnetfeld {\vec {B}} und Lorentzkraft {\vec {F}}_{L}. Der Daumen steht für den Strom, der Zeigefinger für das Magnetfeld und der Mittelfinger für die Lorentzkraft. Bei der Buchstabenfolge FBI müssen die Finger ebenfalls in umgekehrter Reihenfolge aufgezählt werden; die Zuordnung der Finger zu den physikalischen Größen darf sich dabei nicht umkehren.

Rechte und linke Hand

Neben der rechten Hand werden auch Linke-Hand-Regeln oder Linke-Faust-Regeln verwendet. Sie funktionieren analog zu den Regeln der rechten Hand, beziehen sich aber nicht auf die technische Stromrichtung, sondern auf die Bewegung von Elektronen.

Das ist nützlich, wenn man Leitungselektronen oder Kathodenstrahlen betrachtet. Dann muss man die Bewegungsrichtung der Ladungsträger nicht gedanklich umkehren und rechnerisch nicht die Ladung q in der Lorentz-Formel negieren. Der Artikel merkt jedoch an, dass viele Menschen die Linke-Hand-Regel als zusätzliche Regel empfinden, die eher verwirrt als hilft.