Bruchgleichung

Begriff und Lösungsprinzip

Eine Bruchgleichung ist in der Schulalgebra eine Bestimmungsgleichung mit mindestens einem Bruchterm, bei dem die Unbekannte im Nenner vorkommt. Um sie zu lösen, bestimmt man zunächst den Definitionsbereich: Alle Zahlen, die einen Nenner zu null machen würden, sind ausgeschlossen.

Dann zerlegt man die Nenner möglichst in Faktoren und bestimmt den Hauptnenner. Multipliziert man jeden Summanden der Gleichung mit diesem Hauptnenner, können gemeinsame Faktoren gekürzt werden. Die Bruchterme verschwinden dadurch; es entsteht eine einfachere Gleichung. Die erhaltene Lösung muss abschließend darauf geprüft werden, ob sie im Definitionsbereich liegt.

Beispiel: Nenner und Definitionsbereich

Gegeben ist die Gleichung

(2x+1)/(4x²−9) − (2−x)/(2x²+3x) = 1/x.

Die Nenner werden faktorisiert:

• 4x²−9 = (2x+3)(2x−3) • 2x²+3x = x(2x+3)

Damit lautet die Gleichung

(2x+1)/((2x+3)(2x−3)) − (2−x)/(x(2x+3)) = 1/x.

Als Grundmenge gelten die rationalen Zahlen. Ausgeschlossen sind x = 0, x = −3/2 und x = 3/2, weil mindestens einer der Nenner dann null wird. Der Definitionsbereich ist daher D = ℚ \ {0; −3/2; 3/2}.

Beispiel: Hauptnenner und Lösung

Der Hauptnenner ist HN = x(2x+3)(2x−3). Nach Multiplikation aller Summanden damit und Kürzen ergibt sich:

(2x+1)·x − (2−x)·(2x−3) = 1·(2x+3)(2x−3).

Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen folgt:

4x²−6x+6 = 4x²−9.

Nach Subtraktion von 4x² auf beiden Seiten bleibt −6x+6 = −9, danach −6x = −15. Division durch −6 ergibt x = 5/2.

Da 5/2 zum Definitionsbereich gehört, ist die Lösungsmenge L = {5/2}.