Bohrscher Radius

Begriff und Bedeutung

Der bohrsche Radius a_0 ist eine physikalische Konstante der Größenart Länge. Er bezeichnet im bohrschen Atommodell den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und damit den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale. In dieser einfachen Definition wird die kleine Korrektur noch nicht berücksichtigt, die dadurch entsteht, dass sich der Atomkern wegen seiner endlichen Masse ebenfalls um den gemeinsamen Schwerpunkt mitbewegt.

In der Quantenmechanik bedeutet der bohrsche Radius nicht einfach eine feste Kreisbahn des Elektrons. Für den niedrigsten Energiezustand ergibt sich vielmehr: Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte, das Elektron in einem bestimmten Abstand vom Kern zu messen, ist beim bohrschen Radius maximal. Der experimentell wichtigere Erwartungswert für den Radius ist jedoch größer, nämlich das 1,5-fache des bohrschen Radius.

Der bohrsche Radius ist besonders wichtig in der Atomphysik. Dort dient er häufig als natürliche Längeneinheit für atomare Abstände.

Formeln und Zahlenwert

Der bohrsche Radius wird durch

a_0 = (4π ε_0 ℏ^2) / (e^2 m_e)

berechnet. Dabei ist ε_0 die elektrische Feldkonstante, ℏ die durch 2π geteilte Planck-Konstante, m_e die Masse des Elektrons und e die Ladung des Elektrons.

Eine gleichwertige Schreibweise lautet

a_0 = λ_e / (2π α).

Dabei ist λ_e = (2π ℏ) / (m_e c) die Compton-Wellenlänge des Elektrons, und α = e^2 / (4π ε_0 ℏ c) ist die Feinstrukturkonstante.

Nach derzeitiger Messgenauigkeit der verwendeten Naturkonstanten beträgt der Wert

a_0 = 0,529 177 210 544(82) · 10^-10 m.

In SI-Schreibweise ist das 5.29177210544(82)e^-11 m, in CGS-Schreibweise 5.29177210544(82)e^-9 cm. Die relative Unsicherheit beträgt 1.6e^-10. Die Ziffern in Klammern geben die geschätzte Standardabweichung der letzten Dezimalstellen an.

Als Näherung verwendet man in der Atomphysik oft 52,9 pm oder ein halbes Ångström, also 50 pm.

Korrektur durch Kernbewegung

Die einfache Formel für a_0 nimmt praktisch an, dass der Atomkern feststeht. Tatsächlich besitzt der Kern eine endliche Masse M_K und bewegt sich mit dem Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt. Um dies zu berücksichtigen, ersetzt man in den mechanischen Formeln die Elektronenmasse m_e durch die reduzierte Masse

μ = m_e / (1 + m_e / M_K).

Der Bahnradius wird dann

(1 + m_e / M_K) a_0.

Diese Korrektur ist klein, aber messbar wichtig. Beim Wasserstoffatom beträgt sie nur etwa 0,05 %, beim He^+-Ion, das ebenfalls nur ein Elektron besitzt, etwa 0,01 %. Mit entsprechend angepassten Massen wird der Begriff des bohrschen Radius auch für andere Systeme verwendet, zum Beispiel für Exzitonen.

Herleitung über Energie

Der bohrsche Radius lässt sich mit einer einfachen Abschätzung aus der Unschärferelation herleiten. Man nimmt an, dass der Abstand des im Wasserstoffatom gebundenen Elektrons vom Kern gewöhnlich a beträgt. Wegen der Unschärferelation wird der Impuls des Elektrons grob abgeschätzt durch

p = ℏ / a.

Daraus folgt für die kinetische Energie, also die Bewegungsenergie,

E_kin(a) = 1/2 m_e v^2 = 1/2 · p^2 / m_e = 1/2 · (1 / m_e) · (ℏ / a)^2.

Die potentielle Energie, also die Lageenergie im elektrischen Feld des Kerns, ergibt sich nach dem Coulombschen Gesetz zu

V(a) = - (1 / (4π ε_0)) · (e^2 / a).

Die Gesamtenergie ist daher

E(a) = E_kin(a) + V(a) = ℏ^2 / (2 m_e a^2) - (1 / (4π ε_0)) · (e^2 / a).

Wenn das Elektron weiter vom Kern entfernt ist, wird seine kinetische Energie kleiner. Wegen des negativen Vorzeichens wächst aber seine potentielle Energie. Im Grundzustand stellt sich ein Kompromiss ein: Die Gesamtenergie wird minimal. Dazu differenziert man E(a) nach a und setzt die Ableitung gleich null:

dE/da = 0 ⇒ a_0 = (4π ℏ^2 ε_0) / (m_e e^2).

Das ist genau der bohrsche Radius.

Energie im Grundzustand

Setzt man den bohrschen Radius a_0 in die Formel für die Gesamtenergie E(a) ein, erhält man die Rydberg-Energie Ry, also die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs:

E(a_0) = -1/2 · (m_e e^4) / ((4π)^2 ε_0^2 ℏ^2) = -1/2 · e^2 / (4π ε_0 a_0) = -13,6 eV.

Die Ionisierungsenergie ist die Energie, die nötig ist, um das Elektron aus dem gebundenen Zustand zu entfernen.

Für die Energien beim Abstand a_0 gilt außerdem:

E_kin(a_0) = -E(a_0)

und

V(a_0) = 2 · E(a_0).

Der Betrag der potentiellen Energie |V(a_0)| heißt Hartree-Energie E_h. Sie ist eine weitere Einheit im System der atomaren Einheiten der Atomphysik.

Historische Einordnung

Niels Bohr erwähnte in seinem Aufsatz den österreichischen Physiker Arthur Erich Haas. Haas hatte die Formel für a_0 bereits 1910/11 gefunden. Damit erkannte er früh, welche Rolle die Plancksche Konstante h in der Atomphysik, besonders in ihren mechanischen Aspekten, spielen könnte.

In Haas’ Modell läuft ein Elektron auf der Oberfläche einer Kugel um, die mit 1e positiv geladen ist. Nach dem Gaußschen Gesetz der Elektrostatik ergibt das dieselbe Anziehungskraft wie ein punktförmiger Kern. Das Modell fand damals keine Beachtung. Ein Grund war, dass man selbst beim Wasserstoff vielfach noch von viel mehr Elektronen ausging und daher auch von einer größeren positiven Ladung des übrigen neutralen Atoms. Außerdem hielten viele es für ausgeschlossen, dass h außerhalb des Bereichs harmonischer Schwingungen eine Bedeutung haben könnte.

Zu Beginn lagen die mit dem bohrschen Radius berechneten Energien beziehungsweise Wellenlängen des Wasserstoffspektrums um 0,05 % neben den damaligen Messwerten, beim Helium-Ion um 0,01 %. Als sich zeigte, dass die Korrekturen durch die Mitbewegung des Kerns in beiden Fällen vollständige Übereinstimmung ergaben, erhielt das bohrsche Modell rasch große Anerkennung.