Compton-Effekt

Grundidee und Compton-Wellenlänge

Der Compton-Effekt bezeichnet die Vergrößerung der Wellenlänge eines Photons bei der Streuung an einem Teilchen. Beobachtet wurde er zunächst an Elektronen. Dabei überträgt das Photon einen Teil seiner Energie auf das Elektron: Seine Energie sinkt von E auf E′, während seine Wellenlänge von λ auf λ′ zunimmt. Der Vorgang wird als elastischer Stoß beschrieben. Bei einem Streifschuss mit φ ≈ 0° behält das Photon fast seine gesamte Energie; bei Rückstreuung mit φ = 180° gibt es die maximal übertragbare Energie ab.

Die Wellenlängenänderung beträgt Δλ = λ′ − λ = h/(mₑc) · (1 − cos φ) = λC · (1 − cos φ).

Sie hängt nur vom Streuwinkel φ, nicht von der ursprünglichen Photonenenergie ab. Die Compton-Wellenlänge eines Teilchens der Masse m ist λC = h/(mc),

wobei h die Planck-Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit sind. Sie entspricht der Wellenlänge eines Photons, dessen Energie Eγ = hc/λ gleich der Ruheenergie E₀ = mc² des Teilchens ist. Für das Elektron beträgt die Compton-Wellenlänge 2,43 · 10⁻¹² m. Deshalb wird der Compton-Effekt vor allem bei sehr kurzwelliger Röntgen- und Gammastrahlung beobachtet. Bei größeren Wellenlängen ist die relative Änderung so klein, dass die Streuung wie Thomson-Streuung ohne Energieverlust erscheint.

Photonen- und Elektronenenergie

Für ein zunächst ruhendes Elektron ergeben sich nach der Streuung die Photonenenergie E′γ(φ) = Eγ / [1 + (Eγ/(mₑc²))(1 − cos φ)]

und die kinetische Energie des Elektrons E′e(φ) = Eγ − E′γ(φ) = Eγ [1 − 1/{1 + (Eγ/(mₑc²))(1 − cos φ)}].

Bei vielen Photonen gleicher Energie Eγ = hν entsteht deshalb ein kontinuierliches Energiespektrum der Elektronen, das Compton-Kontinuum. Die übertragene Energie hängt kontinuierlich vom Streuwinkel ab, besitzt aber eine scharfe obere Grenze. Diese Compton-Kante liegt bei Rückstreuung, φ = 180°:

E′e(180°) = Eγ [1 − 1/(1 + 2Eγ/(mₑc²))] = 2Eγ²/(mₑc² + 2Eγ) = Eγ/[1 + mₑc²/(2Eγ)].

Zusätzlich kann ein Photopeak oder Full Energy Peak bei der Energie Eγ auftreten. Er entsteht, wenn das Photon seine gesamte Energie im Detektor deponiert, beispielsweise durch den Photoeffekt. Die zugehörige Compton-Kante befindet sich bei Eγ/[1 + mₑc²/(2Eγ)] links vom Photopeak.

Ein Beispiel ist das Gammaspektrum eines ⁶⁰Co-Präparats, aufgenommen mit einem Germanium-Halbleiterdetektor. Die Gammaenergien betragen 1332 keV und 1173 keV; zu beiden Energien sind Compton-Kontinuum und Compton-Kante erkennbar.

Herleitung für ein ruhendes Elektron

Die Herleitung nimmt ein freies, anfangs ruhendes Elektron an. Vor dem Stoß besitzt das Elektron die Energie Eₑ = mₑc² und den Impuls pₑ = 0. Das Photon hat die Energie Eγ = hν und den Impuls pγ = hν/c. Nach dem Stoß tragen Elektron und Photon die Größen E′ₑ, p′ₑ sowie E′γ = hν′ und p′γ = hν′/c.

Es gelten Energie- und Impulserhaltung: Eₑ + Eγ = E′ₑ + E′γ, ⃗pγ = ⃗p′ₑ + ⃗p′γ.

Zusätzlich verbindet die spezielle Relativitätstheorie Energie und Impuls. Für das Elektron wird die Energie-Impuls-Beziehung verwendet; die Impulse bilden geometrisch ein Dreieck, sodass der Kosinussatz gilt: p′ₑ² = pγ² + p′γ² − 2|⃗pγ|·|⃗p′γ| cos φ.

Nach Einsetzen und Umformen erhält man zunächst 1/ν′ − 1/ν = h/(mₑc²) · (1 − cos φ)

und mit c = λν die Compton-Formel Δλ = h/(mₑc) · (1 − cos φ).

Die Energie des gestreuten Photons ist niemals vollständig null. Ihr kleinster Wert entsteht bei Rückwärtsstreuung: E′γ = Eγ/[1 + 2Eγ/(mₑc²)].

Ist das Elektron an ein Atom gebunden, muss von seiner kinetischen Energie nach dem Stoß zusätzlich die Bindungsenergie abgezogen werden.

Compton-Effekt im beliebigen Bezugssystem

Bewegt sich das Elektron vor dem Stoß mit der Geschwindigkeit ⃗v, wird der Vierervektor-Formalismus verwendet. Mit β = |⃗v|/c und γ = 1/√(1 − β²) besitzt das Elektron die Gesamtenergie Eₑ = γmₑc² und den Impuls |⃗p| = γmₑcβ.

Die Viererimpulse lauten vor dem Stoß pμ = (Eₑ/c, ⃗p) für das Elektron und qμ = (Eγ/c, (Eγ/c)⃗n) für das Photon,

danach p′μ = (E′ₑ/c, ⃗p′) und q′μ = (E′γ/c, (E′γ/c)⃗n′).

Dabei sind ⃗n und ⃗n′ Einheitsvektoren in die jeweilige Photonenrichtung. Die Energie-Impuls-Relation liefert p² = p′² = (mₑc)² sowie q² = q′² = 0. Für die Winkel werden Ω als Winkel zwischen Elektron und einfallendem Photon, Ω′ als Winkel zwischen ursprünglichem Elektron und gestreutem Photon und φ als Winkel zwischen einfallendem und gestreutem Photon verwendet.

Aus der Viererimpuls-Erhaltung folgt E′γ = Eγ · (1 − β cos Ω) / [(1 − β cos Ω′) + (hν/(γmₑc²))(1 − cos φ)].

Je nach Einfallswinkel und kinetischer Energie kann das Elektron Energie auf das Photon übertragen; dies ist die inverse Compton-Streuung. Für ein ruhendes Elektron gelten γ = 1 und β = 0, wodurch wieder die Formel für E′γ aus dem vorherigen Abschnitt entsteht.

Streuquerschnitt und Wechselwirkung mit Materie

Der winkelabhängige Wirkungsquerschnitt der Compton-Streuung wird in der Näherung freier, ruhender Elektronen durch die Klein-Nishina-Formel beschrieben. Der Wirkungsquerschnitt gibt an, wie wahrscheinlich die Streuung unter einem bestimmten Winkel ist.

In Materie wird bei der Compton-Streuung ein Elektron aus der Atomhülle geschlagen. Dann gelten die Formeln für freie Elektronen nur näherungsweise. Der Impuls des gebundenen Elektrons beeinflusst die Energie des gestreuten Photons. Die dadurch verursachte Verbreiterung der gemessenen Energien heißt Dopplerverbreiterung. Sie entspricht der Projektion der Impulsverteilung der streuenden Elektronen auf die Richtung des Impulsübertrags. Besonders ausgeprägt ist sie bei niedrigen Photonenergien, großen Streuwinkeln und Atomen mit hoher Kernladungszahl.

Der Compton-Effekt ist ein wichtiger Ionisationsprozess und der dominierende Wechselwirkungsprozess energiereicher Photonen mit Materie im Energiebereich von etwa 100 keV bis 10 MeV. Werden andere Teilchen als Elektronen getroffen, etwa Protonen, muss in den Gleichungen die entsprechende Masse m eingesetzt werden. Dadurch ändern sich Compton-Wellenlänge und Wirkungsquerschnitt.

Geschichte, inverser Effekt und Anwendungen

Arthur Compton untersuchte 1922 die Streuung hochenergetischer Röntgenstrahlen an Graphit. Er beobachtete sowohl eine ungleiche Streuwinkelverteilung in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung als auch eine größere Wellenlänge der gestreuten Strahlung. Die klassische Thomson- oder Rayleigh-Streuung hätte eine unveränderte Frequenz vorhergesagt. Comptons Messungen zeigten dagegen ein Verhalten wie bei einem Teilchenstoß zwischen Photon und Elektron und bestätigten den Teilchencharakter des Lichts. Die Energien von Photon und Elektron lassen sich aus Energie- und Impulserhaltung bestimmen; die genaue Winkelverteilung erfordert jedoch die Quantenelektrodynamik. Compton erhielt dafür 1927 den Nobelpreis für Physik.

Beim inversen Compton-Effekt streut ein hochenergetisches Elektron oder ein anderes geladenes Teilchen, etwa ein Proton, an einem niederenergetischen Photon und überträgt Energie auf das Photon. Der Effekt tritt in Teilchenbeschleunigern und in der Astrophysik auf, unter anderem bei Ausströmungen in den Koronen von Akkretionsscheiben aktiver Galaxienkerne und bei Supernovae. Durch Rückstreuung von Laserphotonen an hochenergetischen Elektronen kann monochromatische, linear polarisierte Gammastrahlung erzeugt werden.

Da Gammastrahlung nur schwer mit Linsen fokussiert werden kann, dienen Compton-Teleskope beziehungsweise Compton-Kameras der Abbildung im Bereich einiger hundert keV bis einiger zehn MeV. Sie messen Energie und Richtung des gestreuten Photons sowie Energie und manchmal die Richtung des Elektrons. Daraus lassen sich Ursprungsrichtung und unter Umständen Polarisation des einfallenden Photons bestimmen. Messunsicherheiten und nicht gemessene Größen erschweren dies, weshalb komplexe Ereignis- und Bildrekonstruktionen erforderlich sind. Das Teleskop COMPTEL erforschte von 1991 bis 2000 an Bord des Compton Gamma Ray Observatory den Sternenhimmel zwischen 0,75 und 30 MeV. Weitere mögliche Anwendungen liegen in der medizinischen Tumorlokalisation, der Überwachung von Nuklearanlagen und radioaktiven Abfällen sowie bei Röntgen-Backscatter-Scannern für Sicherheitskontrollen an Flughäfen, die in den USA getestet wurden.