Bohrsches Atommodell

Grundidee und Bedeutung

Das Bohrsche Atommodell wurde 1913 von Niels Bohr entwickelt. Es beschreibt ein Atom als schweren, positiv geladenen Kern und leichte, negativ geladene Elektronen. Anders als ältere Modelle nimmt es an, dass Elektronen den Kern nur auf bestimmten geschlossenen Kreisbahnen umkreisen können. Es war das erste weithin anerkannte Atommodell mit Elementen der damals noch nicht entwickelten Quantenmechanik.

Seine zentrale Bedeutung liegt darin, dass es wichtige Eigenschaften des Wasserstoffatoms erklärt: die Atomgröße, bestimmte ausgesendete Wellenlängen, die Rydberg-Formel und die Ionisierungsenergie. Es bereitete damit das Verständnis der Atomhülle vor. Das verbreitete Bild von Elektronen als „Planeten“ um den Kern ist jedoch nur eine anschauliche Vereinfachung und entspricht nicht den späteren quantenmechanischen Atommodellen.

Aus dem Rutherfordschen Atommodell allein und mit klassischer Mechanik würde folgen, dass kreisende Elektronen elektromagnetische Wellen abstrahlen, Energie verlieren und schließlich in den Kern stürzen. Stabile Atome wären dann unmöglich. Bohr nahm deshalb an, dass nur bestimmte stabile Bahnen in der Natur vorkommen und dass ein Elektron auf ihnen keine Energie abstrahlt.

Stationäre Zustände und Quantensprünge

Bohr ergänzte das Rutherfordsche Atommodell durch drei Postulate:

• Nicht alle klassisch möglichen Elektronenbahnen sind erlaubt. Nur ausgewählte Bahnen kommen vor; auf ihnen strahlt das Elektron nicht und behält seine Energie. Dies sind stationäre Zustände des Atoms.
• Ein Elektron kann zwischen stationären Zuständen springen. Dieser Quantensprung ist nicht mit klassischer Mechanik und Elektrodynamik beschreibbar. Bei einem Übergang zwischen Energieniveaus wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Ihre Frequenz beträgt f = ΔE/h; sie wird also allein durch die Energiedifferenz ΔE bestimmt, nicht durch die Umlauffrequenz des Elektrons.
• Bei langsamem Elektron und einem Sprung in den energetisch nächstgelegenen Zustand nähert sich die Frequenz der Strahlung der Umlauffrequenz an. Dieses Korrespondenzprinzip stellt den Übergang zwischen klassischer Physik und Quantenphysik her.

Die erlaubten Bahnen lassen sich durch die Quantelung des Bahndrehimpulses ausdrücken: L = nℏ mit n = 1, 2, … und ℏ = h/(2π). Ein Elektron kann daher nur bestimmte diskrete Energiewerte besitzen. Energieaufnahme kann es in einen angeregten Zustand versetzen, ohne dass es sofort ionisiert wird; über den Ablauf des Quantensprungs selbst macht das Modell keine weiteren Aussagen.

Spektrallinien entstehen bei solchen Übergängen. Eine Spektralserie umfasst Übergänge von verschiedenen höheren Energieniveaus auf dasselbe niedrigere Niveau. Je größer die Energiedifferenz ist, desto größer sind Energie und Frequenz des dabei erzeugten Photons.

Mathematische Ergebnisse für Wasserstoff

Das Modell betrachtet ein punktförmiges Elektron der Masse m und Ladung −e, das vom Kern mit Ladung +e durch die Coulomb-Kraft angezogen wird. Für eine Kreisbahn gilt, wenn die Coulomb-Kraft zugleich Zentripetalkraft ist:

(e²/(4πε₀)) · (1/r²) = mv²/r.

Zusammen mit der Drehimpulsquantelung L = mvr = nℏ ergibt sich für den Bahnradius:

rₙ = n² · 4πε₀ℏ²/(me²).

Der kleinste Radius r₁ beträgt etwa 52,9 Pikometer und heißt klassischer oder Bohrscher Atomradius. Die Radien wachsen mit n².

Für die Gesamtenergie gilt:

Eₙ = −(1/n²)E_R,

wobei die Rydberg-Energie E_R = (e²/(4πε₀))² · m/(2ℏ²) ≈ 13,6 eV beträgt. Für zwei Zustände n₁ und n₂ lautet die Energiedifferenz:

ΔE = Eₙ₂ − Eₙ₁ = (1/n₁² − 1/n₂²)E_R.

Dies entspricht, bis auf eine Korrektur von 0,05 % wegen der Mitbewegung des Kerns, der Rydberg-Formel des Wasserstoffspektrums. Lässt man n₂ gegen Unendlich gehen, erhält man die Ionisationsenergie aus dem Zustand n₁.

Experimentelle Bestätigung

Das Bohrsche Modell erklärte mehrere damalige Messbefunde. Die berechneten Atomdurchmesser liegen für viele Elemente in der richtigen Größenordnung und stimmten grob mit den ersten Röntgenbeugungs-Experimenten von Max von Laue und William H. Bragg überein.

Besonders wichtig war die Erklärung der Spektrallinien des Wasserstoffs. Johann Jakob Balmer und Johannes Rydberg hatten 1885 beziehungsweise 1888 aus Messdaten Formeln für die Linienpositionen angegeben. Bohrs Quantensprünge lieferten erstmals eine physikalische Deutung und erlaubten die Herleitung der Balmer- und Rydberg-Formel.

Auch die diskreten angeregten Zustände wurden gestützt: Der Franck-Hertz-Versuch von 1913/1914 zeigte an Quecksilberatomen, dass ein freies Elektron beim Stoß einen bestimmten, für die Ionisation nicht ausreichenden Energiebetrag übertragen muss, um den ersten angeregten Zustand zu erreichen. Der Nachweis über das emittierte Lichtquant und der Ausschluss der alternativen Ionisationsdeutung 1917 bestätigten das erste Postulat unabhängig.

Grenzen und spätere Entwicklung

Das Modell funktioniert für Wasserstoffatome und Ionen mit nur einem Elektron, nicht aber für Mehrelektronensysteme. Seine Postulate beruhen nicht auf einem grundlegenden Prinzip, sondern auf ihrem experimentellen Erfolg; zugleich widersprechen sie der klassischen Elektrodynamik. Definierte Elektronenbahnen verletzen außerdem die 1927 von Werner Heisenberg entdeckte Unschärferelation.

Weitere Grenzen sind: Die Relativitätstheorie wird trotz v = α · c im Wasserstoff-Grundzustand nicht berücksichtigt; chemische Bindungen werden nicht erklärt; der Bahndrehimpuls ist in allen stationären Zuständen um 1ℏ zu groß. Im Grundzustand sagt Bohr 1ℏ voraus, tatsächlich beträgt er 0. Ebenso erklärt das Modell weder den anomalen Zeeman-Effekt noch den Lamb-Shift oder die in der Radioastronomie wichtige 21-cm-Linie des Wasserstoffs.

Die Quantenmechanik von 1925/26 löste das Bohrsche und das Bohr-Sommerfeldsche Modell ab. Elektronen bewegen sich danach nicht auf festen Bahnen, sondern besitzen in ausgedehnten Bereichen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten; angemessener ist das Bild einer Elektronenwolke beziehungsweise von Orbitalen. Erhalten blieb die Grundidee diskreter Energieniveaus.

Das Bohr-Sommerfeldsche Atommodell erweiterte das Modell ab 1916 unter anderem um elliptische Bahnen sowie eine zweite und dritte Quantenzahl. Der Stern-Gerlach-Versuch von 1922 führte zur Erweiterung um den Spin. Vereinfachte Planetenbahn-Darstellungen prägen weiterhin Logos und Illustrationen; das Atomsymbol ist als Unicode-Zeichen U+269B ⚛ standardisiert.