Betragsquadrat

Grundidee und Definition

Das Betragsquadrat oder Absolutquadrat bezeichnet Funktionen, die besonders in Mathematik und Physik auf Zahlen, Vektoren und Funktionen angewendet werden. Grundidee: Man nimmt den Betrag eines Objekts und quadriert ihn. Bei reellen und komplexen Zahlen ist das Betragsquadrat also der quadrierte Betrag. Bei reellen oder komplexen Vektoren endlicher Dimension ist es das Quadrat der Länge, also der euklidischen Norm. Bei reell- oder komplexwertigen Funktionen wird das Betragsquadrat punktweise gebildet: Zu jedem Eingabewert entsteht der Betragsquadrat-Wert des ursprünglichen Funktionswertes.

Wichtig ist: Nach der üblichen Definition in euklidischen Räumen ist das Betragsquadrat immer eine nichtnegative reelle Zahl. Eine Sonderrolle spielt die Relativitätstheorie, wo der Begriff auch für das Lorentz-invariante Quadrat von Vierervektoren verwendet wird, obwohl dieses Quadrat negativ sein kann.

Zahlen, Vektoren und Funktionen

Für eine reelle Zahl x ist das Betragsquadrat einfach ihr Quadrat:

|x|² = x².

Für eine komplexe Zahl z = x + i y mit Realteil Re(z) = x und Imaginärteil Im(z) = y ist das Betragsquadrat für y ≠ 0 nicht dasselbe wie das komplexe Quadrat z² = x² + 2 i x y − y². Stattdessen gilt:

|z|² = z* · z = (x − i y)(x + i y) = x² + y².

Dabei ist z* = x − i y das komplex Konjugierte von z. Das Ergebnis ist stets eine nichtnegative reelle Zahl.

Bei Vektoren im Rⁿ meint der Betrag beziehungsweise die Länge die euklidische Norm. Für v ∈ Rⁿ gilt:

|v|² = v · v = v₁² + v₂² + … + vₙ².

Das ist das Standardskalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Für komplexe Vektoren v ∈ Cⁿ verwendet man entsprechend die komplex konjugierten Komponenten:

|v|² = v₁* · v₁ + v₂* · v₂ + … + vₙ* · vₙ.

Auch hier ist das Ergebnis eine nichtnegative reelle Zahl.

Für Funktionen wird das Betragsquadrat punktweise definiert. Für eine reellwertige Funktion φ: Ω → R gilt:

|φ|²: Ω → R, x ↦ |φ(x)|² = (φ(x))².

Im reellen Fall ist das Betragsquadrat also gleich dem Quadrat der Funktion und wird auch als φ² geschrieben. Für eine komplexwertige Funktion φ: Ω → C gilt:

|φ|²: Ω → C, x ↦ |φ(x)|² = (φ(x))* · φ(x).

Das Ergebnis ist eine reellwertige Funktion mit demselben Definitionsbereich Ω. Im komplexen Fall wird sie auch als φ*φ notiert.

Rechenregeln für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gibt es mehrere wichtige Eigenschaften des Betragsquadrats. Sie lassen sich durch punktweise Betrachtung auch auf Funktionen übertragen.

Für den Kehrwert einer komplexen Zahl z ≠ 0 gilt:

1/z = z*/(zz) = z/|z|².

Man kann den Kehrwert also berechnen, indem man die konjugiert komplexe Zahl durch das Betragsquadrat dividiert.

Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist gleich dem Betrag des Quadrats der Zahl:

|z|² = |z²|.

Für z = x + i y ergibt sich:

|z²| = |x² − y² + 2 i x y| = √((x² − y²)² + (2xy)²) = √((x² + y²)²) = x² + y² = |z|².

In Polarform z = r · e^(iφ) mit r = |z| gilt entsprechend:

|z²| = |r² e^(2iφ)| = |r²| · |e^(2iφ)| = r² · 1 = |z|².

Für Produkt und Quotient zweier komplexer Zahlen gilt: Das Betragsquadrat des Produkts ist das Produkt der Betragsquadrate, und das Betragsquadrat des Quotienten ist der Quotient der Betragsquadrate. Für z₂ ≠ 0:

|z₁ z₂|² = |z₁|² |z₂|²,

|z₁/z₂|² = |z₁|² / |z₂|².

Für Summe und Differenz zweier komplexer Zahlen z₁ = r₁ e^(iφ₁) und z₂ = r₂ e^(iφ₂) gilt:

|z₁ ± z₂|² = r₁² + r₂² ± 2 r₁ r₂ cos(φ₂ − φ₁).

Geometrisch entspricht diese Beziehung dem Kosinussatz in der komplexen Ebene. Für zwei komplexe Zahlen mit Betrag eins erhält man speziell:

|e^(iφ₁) + e^(iφ₂)|² = 2 + 2 cos(φ₂ − φ₁) = 4 cos²((φ₂ − φ₁)/2).

Signaltheorie und Algebra

In der Signaltheorie wird das Betragsquadrat verwendet, um die Gesamtenergie beziehungsweise Gesamtleistung eines kontinuierlichen komplexwertigen Signals f: R → C zu beschreiben. Sie ist definiert als Integral über das Betragsquadrat:

E = ∫₋∞^∞ |f(t)|² dt.

Die Gesamtenergie entspricht damit dem Quadrat der L²-Norm des Signals. Ein zentrales Ergebnis ist der Satz von Plancherel: Die Energie eines Signals im Zeitbereich ist gleich seiner Energie im Frequenzbereich. Ist F die normierte Fourier-Transformierte von f, dann gilt:

∫₋∞^∞ |f(t)|² dt = ∫₋∞^∞ |F(ω)|² dω.

Die Fourier-Transformation erhält also die Gesamtenergie eines Signals und ist damit eine unitäre Abbildung.

In der Algebra, genauer in der Körpertheorie, ist das Betragsquadrat komplexer Zahlen die Norm der Körpererweiterung C/R. Es ist außerdem die Norm im quadratischen Zahlkörper Q(i) und spielt deshalb beim Rechnen mit gaußschen Zahlen eine wichtige Rolle.

Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie fasst man Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit in einem Orts-Vierervektor zusammen:

r = (c t, x, y, z).

Die Zeitkoordinate t wird mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert, damit sie wie die Raumkoordinaten (x, y, z) die Dimension einer Länge hat. Im Minkowski-Raum der flachen Raumzeit wird das Quadrat dieses Vierervektors abweichend von der euklidischen Definition durch

r² = c² t² − x² − y² − z²

definiert. Dieses Quadrat kann auch negativ sein. Deshalb ist es kein Betragsquadrat im Sinn eines Skalarprodukts mit nichtnegativen Werten; trotzdem wird in der Literatur dafür ebenfalls der Begriff Betragsquadrat verwendet.

Lorentz-Transformationen sind Koordinatentransformationen, die diese Bilinearform und damit das Vierervektorquadrat erhalten. Für ein Ruhesystem eines Objekts, das sich mit Relativgeschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, lautet die Transformation:

t' = γ(t − vx/c²), x' = γ(x − vt), y' = y, z' = z.

Dabei ist γ der Lorentz-Faktor. Für den transformierten Vierervektor r' = (c t', x', y', z') gilt:

(r')² = r².

Analog wird auch das Betragsquadrat anderer Vierervektoren, etwa des Impuls-Vierervektors, definiert. Es bleibt ebenfalls invariant unter Lorentz-Transformationen.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird das Betragsquadrat zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet. In der Bra-Ket-Notation schreibt man das Skalarprodukt zweier Vektoren |φ⟩ und |ψ⟩ eines Hilbertraums als ⟨φ|ψ⟩.

Ist eine Observable als Operator A mit einem nicht-entarteten Eigenwert a zu einem normierten Eigenvektor |u⟩ gegeben, also

A|u⟩ = a|u⟩,

so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, in einem Zustand |ψ⟩ den Wert a für die Observable A zu messen, über das Betragsquadrat der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsamplitude:

P(a) = |⟨u|ψ⟩|².

Auch bei Wellenfunktionen spielt das Betragsquadrat eine zentrale Rolle. Das punktweise Betragsquadrat der normierten Wellenfunktion aus der Schrödingergleichung ist gleich der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens:

ρ(r, t) = |ψ(r, t)|² = ψ*(r, t) ψ(r, t).