Beschleunigung (spezielle Relativitätstheorie)

Grundidee und Beschleunigungsarten

Auch in der speziellen Relativitätstheorie (SRT) ist Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Weil es keine absolute Zeit gibt und jedes Inertialsystem eigene Maßstäbe und Uhren besitzt, muss jedoch unterschieden werden, welche Zeit und welches Bezugssystem benutzt werden. Die SRT beschreibt daher auch beschleunigte Bewegungen in der flachen Minkowski-Raumzeit.

Die Dreierbeschleunigung ist die mit Laboruhren gemessene gewöhnliche Beschleunigung. Sie hängt in der SRT vom gewählten Inertialsystem ab und heißt deshalb auch Koordinatenbeschleunigung. Die Viererbeschleunigung fasst Zeit- und Raumanteil zu einem Vierervektor zusammen und wird nach der Eigenzeit abgeleitet, also nach der Zeit einer mitbewegten Uhr. Ihr Betrag steht mit der Krümmung der Weltlinie im Minkowski-Diagramm in Zusammenhang.

Die Eigenbeschleunigung ist die Beschleunigung, die ein mit dem Teilchen mitbewegter Beschleunigungssensor misst. Sie ist unabhängig vom extern gewählten Inertialsystem. Mit diesen Größen lassen sich relativistische Bewegungsgleichungen und beispielsweise Hyperbelbewegung sowie gleichförmige Kreisbewegung beschreiben.

Koordinatenbeschleunigung und ihre Transformation

Die Dreier- oder Koordinatenbeschleunigung ist

\vec a=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\vec r}{\mathrm dt^2},

mit Ort \vec r=(x,y,z), Geschwindigkeit \vec u=(u_x,u_y,u_z) und Koordinatenzeit t. Diese Zeit wird von Uhren angezeigt, die in einem Inertialsystem ruhen und miteinander synchronisiert sind.

In der Newtonschen Mechanik gilt wegen der absoluten Zeit t'=t für alle Inertialsysteme \vec a=\vec a'. In der SRT verändern Lorentztransformationen sowohl Raumkoordinaten als auch Zeit. Daher haben ein Objekt und seine Beschleunigung in zwei relativ zueinander bewegten Systemen im Allgemeinen unterschiedliche Werte. Für die Relativgeschwindigkeit \vec v wird \vec\beta_v=\vec v/c und \gamma_v=1/\sqrt{1-\vec\beta_v^2} verwendet.

Besonders übersichtlich ist die Zerlegung in Komponenten parallel und senkrecht zur Relativgeschwindigkeit:

a'_{\parallel}=\frac{a_{\parallel}}{\gamma_v^3(1-\beta_{u\parallel}\beta_v)^3},

a'_{\perp}=\frac{a_{\perp}}{\gamma_v^2(1-\beta_{u\parallel}\beta_v)^2}+\frac{\beta_{u\perp}\beta_v}{\gamma_v^2(1-\beta_{u\parallel}\beta_v)^3}a_{\parallel}.

Diese Transformationsregeln sorgen dafür, dass ein beschleunigtes Objekt in keinem Inertialsystem die Lichtgeschwindigkeit erreicht oder überschreitet.

Vierer- und Eigenbeschleunigung

Vierervektoren werden nach der Eigenzeit \tau abgeleitet. Aus der Viererposition entsteht die Vierergeschwindigkeit und daraus die Viererbeschleunigung:

a^\mu=\frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm d\tau}=\frac{\mathrm d^2r^\mu}{\mathrm d\tau^2}=(\gamma^4\vec\beta\cdot\vec a,\;\gamma^4(\vec\beta\cdot\vec a)\vec\beta+\gamma^2\vec a),

wobei \vec\beta=\vec u/c und \gamma=1/\sqrt{1-\vec\beta^2} sind. Bei parallel zur Geschwindigkeit gerichteter Dreierbeschleunigung ist der räumliche Anteil \vec a_{r,\parallel}=\gamma^4\vec a; bei senkrechter Beschleunigung gilt \vec a_{r,\perp}=\gamma^2\vec a. Das Minkowski-Betragsquadrat ist in allen Inertialsystemen gleich:

a^\mu a_\mu=-\gamma^4\vec a^2-\gamma^6(\vec\beta\cdot\vec a)^2.

Zu jedem infinitesimalen Zeitpunkt gibt es ein momentanes Inertialsystem, das dieselbe Geschwindigkeit wie der beschleunigte Körper besitzt. Die dort gemessene Dreierbeschleunigung \vec a^0 heißt Eigen- oder Ruhebeschleunigung. Sie wird direkt vom mitbewegten Beschleunigungssensor gemessen. Es gilt

\vec a^0=\gamma^2[\vec a+\frac{(\vec a\cdot\vec\beta)\vec\beta}{\vec\beta^2}(\gamma-1)].

Für parallele und senkrechte Komponenten vereinfacht sich dies zu a^0_{\parallel}=\gamma^3a_{\parallel} und a^0_{\perp}=\gamma^2a_{\perp}. Außerdem ist a^\mu a_\mu=-(\vec a^0)^2: Der Betrag der Viererbeschleunigung entspricht somit dem Betrag der Eigenbeschleunigung.

Kraft und Beschleunigung

Bei konstanter Masse m gilt für Viererkraft und Viererbeschleunigung die relativistische Form der Newtonschen Beziehung F^\mu=ma^\mu. Die Dreierkraft \vec F und die Dreierbeschleunigung \vec a erfüllen dagegen

\vec F=m\gamma^3(\vec\beta_u\cdot\vec a)\vec\beta_u+m\gamma\vec a,

bzw.

\vec a=\frac{1}{m\gamma}[\vec F-(\vec\beta_u\cdot\vec F)\vec\beta_u].

Bei relativistischen Geschwindigkeiten sind Dreierkraft und Dreierbeschleunigung deshalb im Allgemeinen nicht parallel. Für die parallele und die senkrechte Richtung gilt:

F_{\parallel}=m\gamma^3a_{\parallel}, F_{\perp}=m\gamma a_{\perp}.

Die früher verwendeten Begriffe „longitudinale Masse“ m_{\parallel}=m\gamma^3 und „transversale Masse“ m_{\perp}=m\gamma werden heute nicht mehr verwendet, weil diese Quotienten von Geschwindigkeit und Richtung abhängen. Die Kraft kann auch über den Impuls formuliert werden: \vec F=\mathrm d\vec p/\mathrm dt=\mathrm d(m\gamma\vec u)/\mathrm dt.

Die Eigenkraft \vec F^0 ist die mit einer mitbewegten Federwaage gemessene Kraft. Im momentanen Ruhesystem gilt wieder die Newtonsche Form \vec F^0=m\vec a^0. Bei paralleler Bewegung ist F^0_{\parallel}=F_{\parallel}, bei senkrechter Bewegung F^0_{\perp}=\gamma F_{\perp}.

Weltlinien und beschleunigte Koordinaten

Beschleunigte Körper haben in Minkowski-Diagrammen gekrümmte Weltlinien. Diese Krümmung betrifft die Form der Weltlinie in flacher Raumzeit und ist nicht mit der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) gleichzusetzen. Nach der Uhrenhypothese hängt die Eigenzeit einer bewegten Uhr nicht von ihrer Beschleunigung ab; ihre Zeitdilatation gegenüber einem Inertialsystem hängt nur von der jeweiligen Relativgeschwindigkeit ab.

Bei konstanter longitudinaler Eigenbeschleunigung \alpha=a_x^0=a_x\gamma^3 entsteht eine Hyperbelbewegung:

t(\tau)=\frac c\alpha\sinh\frac{\alpha\tau}{c}, x(\tau)=\frac{c^2}{\alpha}(\cosh\frac{\alpha\tau}{c}-1), y=z=0.

Die Weltlinie erfüllt c^4/\alpha^2=(x+c^2/\alpha)^2-c^2t^2. Solche Gleichungen werden unter anderem bei Szenarien des Zwillingsparadoxons, des Bellschen Raumschiffparadoxons und bei Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung verwendet.

Konstante transversale Eigenbeschleunigung beschreibt eine gleichförmige Kreisbewegung. Dabei gilt x=r\cos\Omega_0t=r\cos\Omega\tau, y=r\sin\Omega_0t=r\sin\Omega\tau, v=r\Omega_0 und \Omega=\gamma\Omega_0. Beschleunigte Bewegungen lassen sich auch in beschleunigten Koordinaten darstellen: Rindler-Koordinaten bei Hyperbelbewegung sowie Born- oder Langevin-Koordinaten bei Kreisbewegung. Die dabei auftretenden Effekte können analog zu einem homogenen, fiktiven Gravitationsfeld gedeutet werden.