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Zwillingsparadoxon
Das Zwillings- oder Uhrenparadoxon ist die paradox erscheinende Tatsache, dass Zwillinge nicht mehr gleich alt sind, wenn einer von einer Rundreise nach …
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Grundidee und Auflösung
Beim Zwillings- oder Uhrenparadoxon kehrt ein Zwilling von einer Rundreise zurück und ist jünger als der Zwilling, der in einem Inertialsystem – einem unbeschleunigten Bezugssystem – zu Hause blieb. Entsprechend geht eine mitreisende Uhr gegenüber einer am Ausgangsort verbliebenen Uhr nach. Der Effekt folgt aus der relativistischen Zeitdilatation: Zeit ist keine für das gesamte Universum einheitlich ablaufende Größe.
Paradox wirkt zunächst, dass jeder Zwilling den anderen als bewegt ansehen kann. Die Situation ist aber nicht symmetrisch: Nur der Reisende muss für die Rückkehr die Richtung ändern und damit sein Inertialsystem wechseln; dabei treten Beschleunigung und Trägheitskräfte auf. Beide können beim Wiedersehen übereinstimmend feststellen, wer diesen Wechsel vollzogen hat. Mit Lorentztransformation, Zeitdilatation und Lorentz-Kontraktion ergeben sich widerspruchsfreie Vorhersagen: Der Reisende erlebt eine kürzere Eigenzeit und ist daher weniger gealtert.
Die Lorentz-Kontraktion bedeutet, dass bewegte räumliche Abstände kürzer gemessen werden. Für den Reisenden ist deshalb die Strecke kürzer; bei gleicher Relativgeschwindigkeit endet seine Reise in seiner eigenen Zeit früher. Für Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit ist der Unterschied praktisch nicht spürbar. Relativistische Korrekturen sind experimentell bestätigt und werden beispielsweise bei GPS benötigt.
Beispiel mit Anna und Betty
Betty fliegt mit v=0,8c zu einem 8 Lichtjahre entfernten Stern, während Anna auf der Erde bleibt. In Annas Ruhesystem dauert der Hinflug 10 Jahre und der Rückflug weitere 10 Jahre: Anna altert insgesamt 20 Jahre. Bettys Zeit läuft gegenüber Annas System um den Faktor
γ⁻¹=√(1−(v/c)²)
langsamer. Bei v=0,8c ist dies √(1−0,8²)=√0,36=0,6. Betty erlebt deshalb je 6 Jahre für Hin- und Rückflug, insgesamt 12 Jahre. Nach der Rückkehr befinden sich beide wieder in einem gemeinsamen Ruhesystem und können direkt vergleichen: Anna ist 20, Betty 12 Jahre älter geworden.
Beobachtungen durch Lichtsignale widersprechen diesem Ergebnis nicht. Wegen Lichtlaufzeit und relativistischem Doppler-Effekt sieht Anna Bettys Uhr auf dem Hinweg bei diesem Beispiel dreimal langsamer laufen. Betty sieht umgekehrt Annas Uhr auf dem Hinweg ebenfalls dreimal langsamer. Nach Bettys Umkehr kehrt sich der Dopplerfaktor um: Während des 6 Jahre dauernden Rückflugs sieht Betty die Erde 18-mal um die Sonne laufen. Bei der Landung weiß sie daher, dass auf der Erde 20 Jahre vergangen sind.
Beschleunigung kennzeichnet den Unterschied der Reiseverläufe, ist aber nicht selbst die Ursache des Altersunterschieds. Bleibt Betty zunächst 19 Jahre auf der Erde und unternimmt dann eine kurze Reise mit denselben Beschleunigungen wie zuvor, kann sie nach insgesamt 20 Erdjahren fast 20 Jahre gealtert sein. Entscheidend sind erreichte Geschwindigkeit und Dauer der jeweiligen Bewegungsabschnitte.
Experimentelle Bestätigung
Im Hafele-Keating-Experiment von 1971 flogen Joseph C. Hafele und Richard E. Keating vier Cäsium-Atomuhren zweimal mit Linienflugzeugen von Washington, D.C. aus um die Erde, ostwärts und westwärts. Sie verglichen sie mit ortsfesten Atomuhren in Washington. Nach spezieller Relativitätstheorie sollten die ostwärts geflogenen Uhren etwa 184 ns nachgehen, die westwärts geflogenen 96 ns vorgehen. Zusätzlich beschleunigt das höhere Gravitationspotential in Flughöhe den Uhrengang nach allgemeiner Relativitätstheorie: um 144 ns ostwärts und 179 ns westwärts.
Insgesamt waren −40 ± 23 ns für die Ostwärtsreise und +275 ± 21 ns für die Westwärtsreise vorhergesagt. Gemessen wurden −59 ± 10 ns beziehungsweise +273 ± 7 ns. Die Ergebnisse stimmten somit gut mit der Vorhersage überein.
Beim Myonen-Speicherring-Experiment am CERN 1975 hatten Myonen eine Geschwindigkeit von 99,94 % der Lichtgeschwindigkeit und wurden auf einem 45 m langen Rundkurs gehalten. Ruhende Myonen zeigten die erwartete Halbwertszeit von 1,7 μs. Die fliegenden Myonen hatten eine 30fach verlängerte Halbwertszeit, passend zum inversen Lorentzfaktor bei v=0,9994c. Nach 10 μs Laborzeit wären von ruhenden Myonen nur noch 1/64 übrig, von den fliegenden jedoch 85 %. Die Formeln der Zeitdilatation wurden mit einer Genauigkeit von 0,2 % bestätigt, obwohl die Myonen einer Zentripetalbeschleunigung von etwa 10^18g unterlagen.
Eigenzeit und Raumzeit
Die Relativitätstheorie ersetzt Newtons absolute Zeit durch die Eigenzeit: die Zeit, die eine mitgeführte Uhr entlang ihrer Weltlinie misst. Eine Weltlinie beschreibt die Bewegung eines Körpers in der Raumzeit; ein Ereignis ist ein Raumzeitpunkt. Für Bewegungen in einer Raumrichtung lautet die Minkowski-Metrik
(cτ)²=(cΔt)²−(Δx)²,
oder bei c=1: τ²=(Δt)²−(Δx)². Anders als bei der euklidischen Metrik wird der räumliche Anteil abgezogen. Eigenzeiten von zeitartigen Weltlinien – also von Bewegungen unterhalb der Lichtgeschwindigkeit – werden abschnittsweise berechnet und addiert.
Diese Geometrie führt zur inversen Dreiecksungleichung: Von zwei zeitartigen Weltlinien mit gleichem Anfangs- und Endereignis hat die optisch stärker umwegige Weltlinie die kürzere Eigenzeit. Das ist der mathematische Grund, weshalb der Reisende weniger altert.
Im Beispiel reist Bob mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit zu einem 4 Lichtjahre entfernten Ort und zurück. Die Ereignisse sind p=(0|0), r=(5|4) und q=(10|0). Alan bleibt auf der Erde und hat τ(Alan)=10. Für jeden der beiden Reiseabschnitte Bobs gilt τ=√(5²−4²)=3, also τ(Bob)=3+3=6. Bob altert damit 4 Jahre weniger als Alan.
Bedeutung der Beschleunigung
Beschleunigungsphasen oder Bezugssystemwechsel sind nicht die eigentliche Ursache für den Gangunterschied, auch wenn sie für eine Umkehr und damit für die Rückkehr nötig sind. Ein Gegenbeispiel lässt Alan dieselben Beschleunigungsphasen wie Bob durchlaufen, jedoch zu anderen Zeitpunkten: Mit a₁=(4|0), a₂=(5|0,8) und a₃=(6|0) ergibt sich
τ(Alan mit Umwegen)=4+0,6+0,6+4=9,2.
Bobs Eigenzeit bleibt 6. Obwohl beide identische Beschleunigungsphasen beziehungsweise Bezugssystemwechsel haben, altert Bob um 3,2 Jahre langsamer. Entscheidend ist, dass seine Weltlinie zwischen denselben Raumzeitpunkten den größeren Umweg bildet und deshalb die kleinere Eigenzeit hat.
