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Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung (auch Gesetz von Bernoulli) ist die Grundgleichung für die eindimensionale Behandlung von Strömungen in Fluiden (Flüssigkeiten und …
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Grundidee und Voraussetzungen
Die Bernoulli-Gleichung, auch Gesetz von Bernoulli, ist eine Grundgleichung zur eindimensionalen Beschreibung von Strömungen in Fluiden, also Flüssigkeiten und Gasen. Sie beschreibt, wie sich Geschwindigkeit, Druck und Höhe eines Fluidelements entlang einer Stromlinie gegenseitig ausgleichen. Eine Stromlinie ist eine gedachte Linie, der ein Fluidelement in der Strömung folgt.
In der einfachsten Form gilt die Gleichung für eine stationäre Strömung, also eine zeitlich unveränderte Strömung, eines viskositätsfreien und inkompressiblen Fluids in einem homogenen äußeren Kraftfeld wie dem Schwerefeld der Erde. Viskositätsfrei bedeutet ohne innere Reibung; inkompressibel bedeutet, dass die Dichte als konstant angenommen wird. Dann lautet die Energieform:
{e = u²/2 + p/ρ + g z = konstant auf einer Stromlinie}
Dabei ist u die Strömungsgeschwindigkeit, p der thermodynamische oder statische Druck, ρ die Dichte, g die Schwerebeschleunigung und z die Höhe über einer Bezugsebene. Der Term u²/2 ist die spezifische kinetische Energie, p/ρ entspricht der spezifischen Verdrängungsarbeit oder Druckfunktion, und g z ist die spezifische Lageenergie. Die Bernoulli-Konstante e bleibt entlang einer Stromlinie gleich; wenn ein Summand größer wird, müssen andere entsprechend kleiner werden.
Die Gleichung ist näherungsweise auch für viele reale Flüssigkeiten und Gase nützlich und bildet deshalb eine Grundlage vieler aero- und hydrodynamischer Berechnungen, etwa in Rohrströmungen, Turbomaschinen und Windenergieanlagen. Ihre Anwendung ist aber an Voraussetzungen gebunden: Sie erklärt eine Beziehung zwischen Druck- und Geschwindigkeitsfeld, aber nicht automatisch, warum ein bestimmtes Strömungsmuster entsteht.
Die drei Formen
Für reibungsfreie, inkompressible Fluide wird die Bernoulli-Gleichung in drei äquivalenten Formen verwendet: als Energiegleichung, Druckgleichung und Höhengleichung. Alle drei beschreiben denselben Zusammenhang, nur mit verschiedenen physikalischen Dimensionen.
Die Energiegleichung lautet:
{e = u²/2 + p/ρ + g z = konstant auf einer Stromlinie}
Sie betrachtet die spezifische Gesamtenergie e, also Energie pro Masse mit der SI-Einheit J/kg. Die drei Beiträge heißen Geschwindigkeitsenergie, Druckenergie beziehungsweise Verdrängungsarbeit und Lageenergie. Steigt zum Beispiel bei gleicher Höhe die Strömungsgeschwindigkeit, dann steigt die kinetische Energie; dafür muss der Druckanteil sinken.
Multipliziert man die Energiegleichung mit der konstanten Dichte ρ, erhält man die Druckgleichung:
{p_t = ρu²/2 + p + ρ g z = konstant auf einer Stromlinie}
Die Summe p_t heißt Totaldruck. Der erste Summand ρu²/2 ist der dynamische Druck oder Staudruck. Er ist die Druckerhöhung, die entstehen kann, wenn eine Strömung bis zum Stillstand abgebremst wird. Der zweite Summand p ist der am Ort wirksame statische Druck. Der dritte Summand ρ g z hängt mit der Höhe zusammen und sorgt dafür, dass der Druck in einem geneigten oder senkrechten Stromfaden zu tieferen Stellen hin entsprechend zunimmt. Messgeräte, die auf diesen Zusammenhängen beruhen, sind zum Beispiel Pitotrohr und Prandtlsonde.
Dividiert man die Energiegleichung durch g, entsteht die Höhengleichung:
{h = e/g = u²/(2g) + p/(ρg) + z = konstant auf einer Stromlinie}
Die Summanden heißen Geschwindigkeitshöhe, Druckhöhe und Ortshöhe; ihre Summe ist die Energiehöhe. Diese Darstellung macht die Energieanteile als Längen anschaulich.
Wichtige Folgerungen
Eine zentrale Folgerung ist der Venturi-Effekt. Für inkompressible Fluide gilt bei gegebenem Volumenstrom A · v: Die Fließgeschwindigkeit v verhält sich umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt A, also v ~ A⁻¹. In einem engeren Rohrabschnitt ist die Geschwindigkeit deshalb größer als in einem weiteren. Dies wird umgangssprachlich als Düsenwirkung bezeichnet. Die Beziehung gilt nur, solange Dichteänderungen unbedeutend sind; bei Gasen ist das bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit in guter Näherung erfüllt. Bei Überschallströmung in einer Düse kehrt sich der Effekt um.
Aus der Bernoulli-Gleichung folgt außerdem der Bernoulli-Effekt: Steigt entlang einer Stromlinie die Fließgeschwindigkeit, sinkt der statische Druck. Venturi wies dies mit dem Venturi-Rohr experimentell nach. Die Beschleunigung der Fluidteilchen in eine Engstelle hinein wird durch eine Druckgradientkraft bewirkt; deren Arbeit erhöht die kinetische Energie.
Ein anschauliches Beispiel ist das hydrodynamische Paradoxon: Bläst man Luft zwischen zwei hängende Papierblätter, werden sie nicht auseinander-, sondern zusammengedrückt. Der Druck im schnellen Luftstrom zwischen den Blättern ist kleiner als außen. Allgemein können Gegenstände, die an Strömungszonen angrenzen, in diese hineingezogen werden. Der Artikel nennt als Beispiele auch Schiffe auf Parallelkurs, die durch den Effekt abgelenkt werden können, sowie Dächer, über denen starker Wind den Druck verringert.
Weitere Folgerungen gelten für stationäre, verlustfreie und inkompressible Strömungen entlang einer Stromlinie. Bei konstanter Strömungsgeschwindigkeit sinkt der Druck mit der Höhe beziehungsweise steigt mit der Tiefe: Δp = -ρ g Δz. Bei konstantem Außendruck steigt das Geschwindigkeitsquadrat mit abnehmender Höhe: Δ(u²) = -2g Δz. Außerdem gilt: Sind an zwei Punkten Geschwindigkeit und Druck gleich, muss die Höhe gleich sein; sind Geschwindigkeit und Höhe gleich, ist der Druck gleich; sind Druck und Höhe gleich, ist die Geschwindigkeit gleich.
Anwendung und Grenzen
Die Bernoulli-Gleichung gilt zunächst nur für Punkte auf derselben Stromlinie. Für Anwendungen muss man daher das Geschwindigkeitsfeld zumindest so weit kennen, dass klar ist, welche Punkte durch eine Stromlinie verbunden sind. In drei technisch wichtigen Fällen ist diese Einschränkung weniger problematisch: bei Strömröhren mit Eingang und Ausgang, die durch einen mittleren Stromfaden verbunden sind; bei rotationsfreien, laminaren Strömungen fern von Rändern, die als Potentialströmungen behandelt werden können; und wenn alle Stromlinien aus einem Bereich mit statischen Verhältnissen kommen, sodass die Konstante für alle Stromlinien gleich ist.
Für kompressible barotrope Fluide kann die Gleichung in modifizierter Form angewendet werden. Barotrop bedeutet, dass die Dichte nur vom Druck abhängt. Das ist zum Beispiel zulässig, wenn bei einer Relation ρ(p,T) die Temperatur T überall gleich ist, also nur isotherme Zustandsänderungen auftreten, oder wenn bei ρ(p,s) die Entropie s überall gleich ist, also nur isentrope Zustandsänderungen stattfinden. Nicht gültig ist die Bernoulli-Gleichung etwa, wenn Fluidelemente entlang einer Stromlinie einen Carnot-Prozess durchlaufen, bei dem sie Arbeit leisten, Wärme austauschen und dabei Temperatur und Entropie ändern.
Typische Anwendungen sind Perlatoren an Wasserarmaturen, Feuerwehr-Zumischer zur Schaumerzeugung, Parfum-Zerstäuber, Airbrush- und Sprühpistolen, Wasserstrahlpumpen, Vergaser-Ansaugtrichter, Venturi-Strömungsmesser, Venturi-Düsen und Staurohre. Beim Flügelprofil erklärt die Bernoulli-Gleichung anhand des Stromlinienbildes Druckdifferenzen: Wo Stromlinien enger beieinanderliegen, strömt die Luft schneller und der statische Druck ist geringer; auf der langsamer umströmten Seite ist der Druck höher. Der Artikel betont aber, dass die Bernoulli-Gleichung nicht erklärt, warum die Strömung auf der Oberseite schneller ist als auf der Unterseite.
Erweiterungen für reale Strömungen
Die klassische Bernoulli-Gleichung kann erweitert werden, um Kompressibilität, Viskosität und zeitliche Änderungen zu berücksichtigen. Aus den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich eine allgemeine Form:
{u₁²/2 + P₁ + V₁ = u₂²/2 + P₂ + V₂ + η + ∫₁² (∂u⃗/∂t) · dx⃗}
Hier ist P = ∫ dp/ρ(p) die Druckfunktion, V die spezifische Lageenergie, im Schwerefeld also V = g z, η ein Verlustterm, und das Integral beschreibt den Beitrag instationärer Strömungen. Bei inkompressibler Strömung wird P = p/ρ; bei stationärer Strömung entfällt das Zeitintegral; bei viskositätsfreier Strömung verschwindet der Verlustterm.
Für viskositätsfreie ideale Gase muss bei größeren Geschwindigkeitsänderungen berücksichtigt werden, dass sich die Dichte mit dem Druck ändert. Dann lautet die Form:
{e = u²/2 + ∫ dp/ρ(p) + V = konstant auf einer Stromlinie}
Bei isothermer oder isenthalper Zustandsänderung gilt ρ(p) = p/(R_s T), wodurch ein Logarithmusterm R_s T ln(p/p₀) entsteht. Bei isentroper oder adiabatischer Zustandsänderung wird eine Beziehung mit dem Isentropenexponenten κ verwendet. Für reale Gase bei isentroper Strömung kann die Gleichung als e = u²/2 + h + V geschrieben werden, wobei h die spezifische Enthalpie ist.
Für zähe Flüssigkeiten werden Reibungsverluste durch eine Verlusthöhe H_V beschrieben. Häufig wird empirisch angesetzt:
{H_V = ζ u²/(2g)}
ζ ist der Druckverlustbeiwert. Die Verluste setzen sich aus Einzelverlusten, etwa an Einläufen, Krümmern, Einengungen oder Schiebern, und Rohrreibungsverlusten zusammen. Für gerade Rohrleitungen wird die Darcy-Weisbach-Gleichung verwendet: I = λ u²/(2 g d), wobei I das Energieliniengefälle, λ die Rohrreibungszahl und d der Rohrdurchmesser ist.
Auch instationäre Strömungen können beschrieben werden, indem das Integral der lokalen Beschleunigung ∂u⃗/∂t entlang der Stromlinie berücksichtigt wird. In technischen Anwendungen mit rotierenden Bezugssystemen, etwa im Turbomaschinenbau, kann zusätzlich das Zentrifugalpotential auftreten; bei Rotation um eine lotrechte Achse enthält die Gleichung den Term -½ ω² r².
Herleitung und Beispiel
Die Bernoulli-Gleichung lässt sich aus dem Energiesatz herleiten. In einer stationären Strömung muss zur Änderung der Energie eines Fluidelements mechanische Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit stammt vom Druck; die mechanischen Energien sind Lageenergie und kinetische Energie. Für ein Volumen V mit Dichte ρ ergibt sich aus Druckarbeit, Änderung der Lageenergie und Änderung der kinetischen Energie nach Umstellung:
{p₁ + ρ g h₁ + ½ ρ u₁² = p₂ + ρ g h₂ + ½ ρ u₂²}
Heute kann die Bernoulli-Gleichung auch aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden. Dafür betrachtet man ein barotropes, Newton’sches Fluid in einem konservativen Schwerefeld. Durch Integration entlang einer Stromlinie entsteht die erweiterte Bernoulli-Gleichung. Für Wasser und Öle sowie für Luftströmungen weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ist die Annahme der Inkompressibilität oft gut. Bis Mach 0,3 ist die Änderung der Luftdichte mit der Geschwindigkeit kleiner als 5 %.
Ein Beispiel ist ein Behälter mit einer idealen, inkompressiblen Flüssigkeit der Dichte ρ im Schwerefeld. Zwischen der freien Oberfläche und dem Ausfluss liege die Höhendifferenz h; am Anfang t₀ = 0 werde der Ausfluss geöffnet. Wird die instationäre Bernoulli-Gleichung verwendet und ein Abflussrohr der Länge L betrachtet, ergibt sich für die Geschwindigkeit u(t):
{u(t) = √(2gh) tanh((√(2gh)/(2L)) t)}
Dabei ist tanh der Tangens hyperbolicus. Zur Zeit t = 0 ist die Geschwindigkeit null; für t → ∞ nähert sie sich asymptotisch dem Grenzwert u∞ = √(2gh). Dieser Grenzwert ist das Torricelli’sche Ausflussgesetz. Dasselbe Ergebnis erhält man schneller, wenn man stationäre Strömung annimmt: Aus p₀/ρ + gh = u₂²/2 + p₀/ρ folgt u₂ = √(2gh). Diese Geschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit, die ein Fluidelement beim freien Fall über die Höhe h erreichen würde.
