Energieerhaltungssatz

Grundprinzip und Bedeutung

Der Energieerhaltungssatz besagt, dass Energie eine Erhaltungsgröße ist: Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ändert sich nicht mit der Zeit. Energie kann zwischen verschiedenen Formen umgewandelt werden, etwa von Bewegungsenergie in Wärmeenergie. Sie kann auch in ein System hinein- oder aus ihm heraustransportiert werden. Energie kann jedoch weder erzeugt noch vernichtet werden. Deshalb ist der Energieerhaltungssatz ein grundlegendes Prinzip aller Naturwissenschaften.

Theoretisch lässt sich die Energieerhaltung mithilfe des Noether-Theorems begründen. In der Lagrangeschen Mechanik folgt sie daraus, dass die Wirkung unter zeitlichen Verschiebungen invariant ist. Das bedeutet: Die für ein System geltenden physikalischen Gesetze hängen nicht davon ab, zu welchem Zeitpunkt ein Vorgang stattfindet.

Mechanische Energie

In der Newtonschen Mechanik bleibt bei der Bewegung einer Punktmasse in einem konservativen Kraftfeld die Gesamtenergie E erhalten. Ein konservatives Kraftfeld ist ein Feld, in dem die verrichtete Arbeit nur von Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom zurückgelegten Weg abhängt. Die Gesamtenergie setzt sich aus kinetischer Energie T und potentieller Energie V zusammen:

E = T + V = const.

Die Kraft ist der negative Gradient der potentiellen Energie:

F = −∇V.

Für eine Punktmasse m mit dem Ort x(t) gilt die Bewegungsgleichung m·ẍ = F = −∇V. Daraus folgt für die zeitlichen Änderungen der Energien:

−V̇ = Ṫ, Ṫ + V̇ = Ė = 0.

Kinetische und potentielle Energie können sich also ineinander umwandeln, während ihre Summe konstant bleibt. Ein typisches Beispiel ist ein Pendel ohne Reibung. An seinen Umkehrpunkten ist die kinetische Energie null und die potentielle Energie maximal. Am Ort des Potentialminimums erreicht das Pendel seine höchste Geschwindigkeit. Die Summe beider Energieformen besitzt an jeder Position denselben, durch die anfängliche Auslenkung bestimmten Wert.

Bei deformierbaren hyperelastischen Körpern kommt die Formänderungsenergie W hinzu. Ihre Zeitableitung ist die Verformungsleistung L:

L := Ẇ.

Die Verformungsarbeit wird vollständig, reversibel und ohne Dissipation in Formänderungsenergie umgesetzt. Für zwei Zeitpunkte gilt deshalb:

T₁ + V₁ + W₁ = T₂ + V₂ + W₂.

Damit bleibt in einem konservativen Kraftfeld die Summe aus kinetischer, potentieller und Formänderungsenergie konstant.

Thermodynamik und Energiebilanz

Die Gesamtenergie eines thermodynamischen Systems besteht aus einem äußeren Anteil Eₐ und einem inneren Anteil Eᵢ. In der chemischen Thermodynamik setzt man die Änderung des äußeren Anteils gleich null: dEₐ = 0. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich der erste Hauptsatz der Thermodynamik: Die innere Energie ist eine Eigenschaft der stofflichen Bestandteile eines Systems, kann nicht erzeugt oder vernichtet werden und ist eine Zustandsgröße. Eine Zustandsgröße hängt nur vom Zustand des Systems ab, nicht vom Weg, auf dem dieser erreicht wurde.

In einem abgeschlossenen System ist die innere Energie konstant. Für ein geschlossenes System lautet der erste Hauptsatz:

dU = δQ + δW,

wobei U die innere Energie, Q die übertragene Wärme und W die verrichtete Arbeit bezeichnet.

Kann ein System Energie mit seiner Umgebung austauschen, etwa durch Strahlung oder Wärmeleitung, ist es energetisch offen. Dann verwendet man eine Energiebilanz: Die hineinfließende Energie minus der herausfließenden Energie entspricht der Änderung der Energie des Systems. Bezogen auf ein Zeitintervall ist die zeitliche Änderung der Gesamtenergie gleich der Leistung einschließlich der Wärmeleistung, die von der Umgebung in das System eingebracht oder ihm entnommen wird. Der Energieerhaltungssatz ist der Spezialfall, in dem keine solche Arbeit oder Leistung zwischen System und Umgebung übertragen wird.

Mögliche Wechselwirkungen sind in der Mechanik Kontaktkräfte wie Reib- und Normalkraft sowie Fernkräfte wie Gravitations- und Lorentzkraft. In der Thermodynamik erfolgt der Austausch beispielsweise durch Wärmestrahlung oder Wärmeleitung; in der Elektrodynamik durch elektrische Arbeit und elektrische Leistung. Aus Energieströmen lassen sich auch Rückschlüsse auf nicht direkt beobachtbare Vorgänge ziehen. Die Energie selbst ist nicht unmittelbar messbar; wenn man von der Äquivalenz von Masse und Energie absieht, zeigen sich nur Energieunterschiede in Messungen.

Elektrodynamik, Relativität und Quantenmechanik

In der Elektrodynamik sind elektromagnetische Felder häufig nur ein Teilsystem. Sie können etwa mit geladenen Teilchen gekoppelt sein, die eine bestimmte Ladung, Masse und Geschwindigkeit besitzen. Der Satz von Poynting beschreibt die Energiebilanz elektromagnetischer Felder: Er erfasst sowohl den Energiestrom im Feld als auch den Energieaustausch mit anderen Teilsystemen.

In der speziellen Relativitätstheorie besitzt ein Körper der Masse m bei der Geschwindigkeit v die Energie

E(v) = mc²/√(1 − (v/c)²),

wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. In Ruhe beträgt seine Ruheenergie

E_Ruhe = mc².

Für kleine Geschwindigkeiten v ≪ c gilt näherungsweise:

E ≈ mc² + ½mv².

Die Energie ist dann ungefähr die Summe aus Ruheenergie und der kinetischen Energie der Newtonschen Mechanik. Bei hochenergetischen Teilchen ist diese Näherung messbar falsch; bei Teilchenreaktionen bleibt nur die Summe der relativistischen Energien erhalten.

Nach der allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich der Energieerhaltungssatz nicht auf das Universum als Ganzes anwenden. Besonders die Gravitationsenergie kann nicht immer eindeutig für das gesamte Universum definiert werden. Daher bleibt die Gesamtenergie des Weltalls weder erhalten noch geht sie verloren: Sie ist in diesem Rahmen nicht definierbar.

In der Quantenmechanik bleibt die Energie eines Zustands erhalten, wenn der Hamiltonoperator, also der Operator für die Energie des Systems, nicht von der Zeit abhängt. Zustände, die sich mit der Zeit messbar verändern, sind keine Energieeigenzustände. Dennoch bleibt in ihnen zumindest der Erwartungswert der Energie konstant.

Alltagssprache und Nutzbarkeit

Aus physikalischer Sicht gibt es keinen Energieverlust, keinen Energieverbrauch und keine Energieerzeugung. Diese umgangssprachlichen Begriffe sind dennoch sinnvoll, weil die Erde kein abgeschlossenes System ist und Menschen sowie andere Lebewesen Energie nur in bestimmten Formen nutzen können.

Als Exergie bezeichnet man technisch oder biologisch nutzbare Energie; Anergie ist schlechter oder nicht nutzbare Energie. „Energieverbrauch“ oder „Energieverlust“ meint meist die Umwandlung von Exergie in Anergie. „Energieerzeugung“ bezeichnet in Wirklichkeit die Umwandlung vorhandener Energie in eine für Menschen nutzbare Form, meistens elektrische Energie.

Bei vielen üblichen Umwandlungen werden Energieträger mit geringer oder spezifischer Entropie in Formen höherer Entropie überführt. Ein Kraftfahrzeug wandelt beispielsweise chemische Energie aus Erdöl oder Rapsöl in kinetische und thermische Energie um. Da Erdöl nicht regenerierbar ist, kann von einem Verlust dieser besonderen chemischen Energieform mit niedriger Entropie für spätere Generationen oder andere Zwecke gesprochen werden.

Nur ein Teil der Energie eines Energieträgers wird üblicherweise in nutzbare Energie umgewandelt. „Energiesparen“ kann daher bedeuten, den Wirkungsgrad einer Umwandlung oder eines Geräts zu erhöhen. Dann liefert weniger Rohstoff mehr nutzbare Energie, oder ein Zweck wird mit einer geringeren Energieumwandlung erreicht.

Historische Entwicklung

Robert Mayer formulierte den Energieerhaltungssatz zuerst. Er zeigte 1842 experimentell, dass eine bestimmte Bewegungsenergie bei vollständiger Umwandlung stets dieselbe Wärmemenge ergibt, und bestimmte das „mechanische Wärmeäquivalent“. Unabhängig davon gelangten 1843 James Prescott Joule und Ludwig August Colding zu entsprechenden Ergebnissen. Hermann von Helmholtz formulierte den Satz 1847 endgültig aus und berichtete am 23. Juli 1847 in Berlin über die „Konstanz der Kraft“.

Die Energieerhaltung war zeitweise umstritten. Niels Bohr vertrat bei Quantenprozessen mehrfach nur eine statistische, also gemittelte Energieerhaltung. Ein Beispiel ist die BKS-Theorie von 1924, die er mit John C. Slater und Hendrik Anthony Kramers entwickelte. Experimente von Compton sowie Hans Geiger und Walther Bothe widerlegten sie und bestätigten die Energieerhaltung auf Quantenebene. Beim Betazerfall erklärte Wolfgang Pauli die scheinbar fehlende Energie später durch das Postulat des nur schwach wechselwirkenden Neutrinos. Heute gilt der Energieerhaltungssatz als etabliert und wird häufig sogar zur Definition der Energie verwendet.