Fermat-Punkt

Grundidee und erster Fermat-Punkt

Der erste und der zweite Fermat-Punkt sind besondere Punkte eines Dreiecks. Der erste Fermat-Punkt F₁ ist derjenige Punkt, für den die Summe der Abstände zu den drei Eckpunkten minimal ist. In der Literatur wird meist der bekanntere erste Fermat-Punkt einfach Fermat-Punkt genannt. Beide Fermat-Punkte sind isogonal konjugiert zu den beiden isodynamischen Punkten und liegen auf der Kiepert-Hyperbel.

Für ein Dreieck ABC mit drei Innenwinkeln kleiner als 120° liegt F₁ im Inneren des Dreiecks. Von diesem Punkt aus werden alle drei Seiten unter einem Winkel von 120° gesehen: ∠AF₁B = ∠BF₁C = ∠CF₁A = 120°.

Hat das Dreieck dagegen einen Winkel, der größer oder gleich 120° ist, dann fällt F₁ mit dem Scheitel dieses Winkels zusammen. Bei einem gleichseitigen Dreieck entspricht F₁ dem Inkreismittelpunkt. Der erste Fermat-Punkt wird auch Fermat-Torricelli-Punkt oder Torricelli-Punkt genannt.

Konstruktion und Anwendung

Zur Konstruktion des ersten Fermat-Punktes errichtet man über den drei Seiten des Dreiecks ABC die gleichseitigen Aufsatzdreiecke △AC₁B, △BA₁C und △CB₁A. Es gibt zwei gleichwertige Verfahren:

• Verbindet man die neuen Punkte A₁, B₁ und C₁ jeweils mit den gegenüberliegenden Eckpunkten A, B und C, schneiden sich die drei Verbindungsstrecken im ersten Fermat-Punkt F₁.

• Alternativ zeichnet man die Umkreise der drei Aufsatzdreiecke. Ihr gemeinsamer Schnittpunkt ist ebenfalls F₁, der Torricelli-Punkt.

Die Konstruktion lässt sich auf die Darstellung des Punktes auf der Kiepert-Hyperbel erweitern. Über den Seiten des Ausgangsdreiecks werden dazu nach außen gleichschenklige ähnliche Dreiecke △AFB, △BEC und △ECD mit gleichen Basiswinkeln errichtet. Nach dem Einzeichnen des Kiepert-Dreiecks △FED schneiden sich die Geraden AE, FC und BD im Perspektivitätszentrum P. Die Kiepert-Hyperbel kann anschließend auch mit einer Dynamische-Geometrie-Software durch den Befehl Kegelschnitt (A,B,C,P,F₁) erzeugt werden.

Eine Anwendung liegt in der Wirtschaftsmathematik, besonders in der Standortplanung. Wollen drei Unternehmen ein gemeinsames Zentrallager so errichten, dass die Transportkosten minimal sind, liegt der geeignete Standort beim Fermat-Punkt F₁, wenn die drei Unternehmensstandorte als Dreieck mit ausschließlich Winkeln kleiner als 120° aufgefasst werden. Entscheidend ist dabei, dass die Summe der Abstände zu den drei Eckpunkten minimal wird.

Zweiter Fermat-Punkt

Der zweite Fermat-Punkt F₂ wird für ein Dreieck ABC ohne Innenwinkel von 60° betrachtet. Für ihn gelten die Winkelbeziehungen ∠AF₂B = ∠BF₂C = 60° und ∠AF₂C = 120°.

Im Gegensatz zu F₁ besitzt F₂ im Allgemeinen nicht die Minimumeigenschaft. Diese gilt für F₂ nur dann, wenn er mit einem Eckpunkt des Ausgangsdreiecks zusammenfällt. Besitzt ABC einen 60°-Winkel, entspricht F₂ dem Scheitel dieses Winkels. Bei einem gleichseitigen Dreieck fallen die drei Aufsatzdreiecke mit dem Ausgangsdreieck zusammen; dann gilt A₁ = A, B₁ = B und C₁ = C. Deshalb kann jeder der drei Eckpunkte A, B oder C als zweiter Fermat-Punkt F₂ angesehen werden. Auch F₂ liegt auf der Kiepert-Hyperbel.

F₂ wird analog zu F₁ konstruiert, jedoch werden die gleichseitigen Aufsatzdreiecke △AC₁B, △BA₁C und △CB₁A nach innen statt nach außen errichtet. Die Umkreise dieser drei Aufsatzdreiecke schneiden sich im zweiten Fermat-Punkt beziehungsweise Torricelli-Punkt F₂. Die Weiterführung zur Kiepert-Hyperbel erfolgt entsprechend der Konstruktion für F₁.

Begründung der Minimumeigenschaft

Die Beweise verwenden Vektoren und ihr Skalarprodukt in der euklidischen Ebene. Ein wichtiges Lemma lautet: Für alle Vektoren a⃗, b⃗, c⃗ ≠ 0 gilt (a⃗/|a⃗|) + (b⃗/|b⃗|) + (c⃗/|c⃗|) = 0 genau dann, wenn die drei normierten Vektoren jeweils einen Winkel von 120° zueinander haben. Der Beweis folgt aus dem Skalarprodukt. Für Einheitsvektoren e⃗ᵢ gilt bei verschiedenen Vektoren e⃗ᵢ · e⃗ⱼ = cos θᵢⱼ = −1/2; daraus folgt θᵢⱼ = 120°. Umgekehrt ergibt sich für drei solche Einheitsvektoren: |e⃗₀ + e⃗₁ + e⃗₂|² = 3 × 1 + 6 × (−1/2) = 0, also e⃗₀ + e⃗₁ + e⃗₂ = 0.

Das zweite Lemma lautet für a⃗ ≠ 0 und jeden Vektor x⃗: |a⃗ − x⃗| ≥ |a⃗| − (a⃗/|a⃗|) · x⃗. Es folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung |u⃗||v⃗| ≥ u⃗ · v⃗, wenn u⃗ = a⃗/|a⃗| und v⃗ = a⃗ − x⃗ eingesetzt werden.

Für F₁ setzt man a⃗ = F₁A⃗, b⃗ = F₁B⃗, c⃗ = F₁C⃗ und x⃗ = F₁X⃗. Wegen der drei 120°-Winkel gilt das erste Lemma. Wendet man das zweite Lemma auf die Abstände von einem beliebigen Punkt X zu A, B und C an und addiert die drei Ungleichungen, heben sich die Skalarprodukt-Terme aufgrund des ersten Lemmas auf. Dadurch erhält man: |XA⃗| + |XB⃗| + |XC⃗| ≥ |F₁A⃗| + |F₁B⃗| + |F₁C⃗|. Damit ist gezeigt, dass F₁ für jeden Punkt X der euklidischen Ebene die kleinste Summe der drei Abstände liefert.

Ein weiterer elementarer Beweis von Joseph Ehrenfried Hofmann aus dem Jahr 1929 verwendet eine Rotation um 60°. Ein Punkt P innerhalb von ABC wird um A als Zentrum in P′ überführt; dabei wird C auf B₁ abgebildet. Wegen gleichseitiger und kongruenter Dreiecke gilt d = d(P,A) + d(P,B) + d(P,C) = |PP′| + |PB| + |P′B₁|. Die Summe der drei Abstände entspricht somit der Länge der gebrochenen Linie B₁P′PB. Diese wird minimal, wenn B₁, P′, P und B auf einer Geraden liegen. Dann folgen die drei Winkel ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°, womit die charakteristische Eigenschaft von F₁ bewiesen ist.

Geschichte und Koordinaten

Vermutlich 1646 formulierte Pierre de Fermat in seinem Manuskript „MAXIMA ET MINIMA“ die Aufgabe, zu drei gegebenen Punkten einen vierten Punkt zu finden, für den die Summe der drei Abstände minimal ist. Noch im selben Jahr fand Evangelista Torricelli drei elementare Lösungen. Torricellis Schüler Vincenzo Viviani veröffentlichte diese zusammen mit einer eigenen Lösung 1659. Torricelli entwickelte unter anderem eine mit Zirkel und Lineal ausführbare geometrische Konstruktion über drei gleichseitige Dreiecke. Thomas Simpson bewies später, dass die von den Aufsatzdreiecken zu den gegenüberliegenden Eckpunkten verlaufenden drei Linien im Torricelli-Punkt zusammentreffen; sie heißen deshalb Simpson-Linien.

Die trilinearen Koordinaten der beiden Fermat-Punkte lauten csc(α ± π/3) : csc(β ± π/3) : csc(γ ± π/3).

Ihre baryzentrischen Koordinaten sind (a · csc(α ± π/3)) : (b · csc(β ± π/3)) : (c · csc(γ ± π/3)).

Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks und α, β und γ die Größen seiner Innenwinkel. Die Pluszeichen gelten für den ersten Fermat-Punkt X₁₃, die Minuszeichen für den zweiten Fermat-Punkt X₁₄.