Arkusfunktion

Was sind Arkusfunktionen?

Arkusfunktionen (von lat. arcus „Bogen“), auch zyklometrische Funktionen oder inverse Winkelfunktionen genannt, sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Sie liefern zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel.

Zu jeder der sechs Winkelfunktionen gibt es eine Arkusfunktion. In Formeln wird sie durch ein vorangestelltes arc oder a vom Kürzel der zugehörigen Winkelfunktion unterschieden:

• Sinus → Arkussinus: arcsin oder asin
• Kosinus → Arkuskosinus: arccos oder acos
• Tangens → Arkustangens: arctan oder atan
• Kotangens → Arkuskotangens: arccot oder acot
• Sekans → Arkussekans: arcsec
• Kosekans → Arkuskosekans: arccsc

Vor allem im englischsprachigen Raum und auf Taschenrechnern findet sich die Schreibweise mit einem in spitze Klammern gesetzten Exponenten, z. B. sin^⟨−1⟩. Fehlen die spitzen Klammern (sin^−1), besteht Verwechslungsgefahr mit dem Kehrwert 1/sin.

Warum gibt es Hauptwerte?

Trigonometrische Funktionen sind periodisch und daher zunächst nicht invertierbar: einem Funktionswert entsprechen unendlich viele Winkel. Beschränkt man die Ausgangsfunktion jedoch auf ein Monotonieintervall, z. B. [−π/2, π/2] oder [0, π], kann die so eingeschränkte Funktion invertiert werden. Diese Umkehrungen sind die Hauptwerte der Arkusfunktionen; die Monotonieintervalle überdecken jeweils nur eine halbe Periode.

Kennt man dagegen sowohl den Sinus als auch den Kosinus eines Winkels (allgemeiner: komplexe Komponenten), kann man den Winkel bis auf ganze Perioden (2π) bestimmen – zur Berechnung dient die Funktion arctan2, zur Anschauung die Riemannsche Fläche des komplexen Logarithmus, deren Blätter den Abstand 2π haben.

Beziehungen zwischen den Funktionen

Arkusfunktionen lassen sich ineinander umrechnen. Wichtige Grundbeziehungen (Paare, die sich zu π/2 ergänzen):

• arcsin(x) = π/2 − arccos(x)
• arctan(x) = π/2 − arccot(x)
• arcsec(x) = π/2 − arccsc(x)

Weitere Umrechnungen, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet:

• arcsin(x) = arctan(x / √(1 − x²))
• arccos(x) = arccot(x / √(1 − x²)) = arcsec(1/x) = arccsc(1/x) (letzteres: arcsin(1/x) ist arcsin zugeordnet)
• arctan(x) = arcsin(x / √(1 + x²))
• arccot(x) = arccos(x / √(1 + x²))
• arcsec(x) = arccos(1/x)
• arccsc(x) = arcsin(1/x)
• arctan(sgn(x)/√(x² − 1)) ergibt arcsec(x), und arccot(sgn(x)/√(x² − 1)) ergibt arccsc(x) (jeweils mit passender Ergänzung um π/2)

Verschwinden bei x ∈ {−1, 0, 1} die Nenner dieser Formeln, sind die entsprechenden Grenzwerte zu wählen, z. B.: arcsin(−1) = lim(x→−1) arctan(x/√(1 − x²)) = lim(y→−∞) arctan(y) = −π/2.