Antiprisma

Aufbau und Einordnung

Ein Antiprisma ist ein geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche und einem gleichartigen, parallelen, aber verdrehten Vieleck als Deckfläche. Ein umlaufendes Band aus Dreiecken verbindet beide Flächen; die Dreiecksspitzen weisen abwechselnd zur Grund- und zur Deckfläche.

Antiprismen sind Polyeder und gehören wie Prismen zu den Prismatoiden. Anders als ein Prisma besitzt ein Antiprisma bei gleicher Eckenzahl doppelt so viele Mantelflächen. Diese Mantelflächen sind Dreiecke, nicht Parallelogramme.

Regelmäßige und uniforme Formen

Bei einem geraden Antiprisma sind Grund- und Deckfläche regelmäßige n-Ecke. Der Mantel besteht aus 2n gleichschenkligen Dreiecken. Die Mittelpunkte der beiden Flächen liegen senkrecht übereinander; die Deckfläche ist gegenüber der Grundfläche um \frac{180^\circ}{n} gedreht. Alle Ecken eines geraden Antiprismas sind gleichartig. Seine dualen Polyeder sind Trapezoeder höherer Symmetrie mit Drachenvierecken als Flächen.

Ein uniformes Antiprisma hat zusätzlich gleichseitige Dreiecke als Mantelflächen. Das Oktaeder kann beispielsweise als uniformes Antiprisma mit dreieckiger Grundfläche beschrieben werden. Das diagonale Antiprisma oder Disphenoid ist ein entarteter Sonderfall mit einem Zweieck als Grund- und Deckfläche; das uniforme diagonale Antiprisma ist ein regelmäßiges Tetraeder.

Uniforme Antiprismen können unter anderem diagonal (Tetraeder), trigonal (Oktaeder), tetragonal, pentagonal, hexagonal oder mit noch mehr Ecken sein.

Symmetrie, Koordinaten und Größen

Hat ein Antiprisma eine regelmäßige n-eckige Grundfläche und ist seine Deckfläche um \frac{180^\circ}{n} gedreht, so ist es genau dann punktsymmetrisch, wenn n ungerade ist. Deshalb ist das Oktaeder mit dreieckiger Grundseite punktsymmetrisch, das Tetraeder mit zweieckiger Grundseite jedoch nicht.

Kartesische Koordinaten der Ecken eines geraden Antiprismas mit n-eckiger Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken sind \left(\cos\left(\frac{k\cdot\pi}{n}\right),\sin\left(\frac{k\cdot\pi}{n}\right),(-1)^k\cdot h\right), wobei k die Werte von 0 bis 2n-1 annimmt. Bei gleichseitigen Dreiecken gilt 2h^2=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right).

Für ein uniformes Antiprisma mit regelmäßigem n-Eck der Seitenlänge a als Grundfläche gelten: V=\frac{n\cdot a^3\cdot\sqrt{4\cos^2\left(\frac{\pi}{2n}\right)-1}\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2n}\right)}{12\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}, A=\frac{n\cdot a^2}{2}\left(\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sqrt{3}\right). Der Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche beträgt \alpha=\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ.

Kugeln und Netz

Eine Umkugel geht durch alle Ecken. Bei gegebener Höhe h und Umkreisradius r_u der Grundfläche ist ihr Radius R=\sqrt{r_u^2+\frac{h^2}{4}}. Jedes unregelmäßige Tetraeder besitzt wegen seiner vier Ecken ebenfalls eine Umkugel.

Eine Kantenkugel berührt alle Kanten; nur uniforme Antiprismen haben eine solche. Bei Inkreisradius r_i der Grundfläche lautet ihr Radius R=\sqrt{r_i^2+\frac{h^2}{4}}.

Eine Inkugel berührt alle Flächen. Jeder Vierflächner besitzt wegen seiner vier Flächen eine Inkugel. Darüber hinaus haben nur gerade Antiprismen eine Inkugel, wenn ihre Höhe das Doppelte des Inkugelradius beträgt. Dann gilt mit Umkreisradius r_u und Inkreisradius r_i der Grund- beziehungsweise Deckfläche: R=\sqrt{r_i\cdot r_u}. Ein solches Antiprisma hat im Allgemeinen gleichschenklige Manteldreiecke. Das regelmäßige Tetraeder und das Oktaeder sind die einzigen Antiprismen mit Inkugel und gleichseitigen Manteldreiecken.

Ein Netz kann aus einem Band von Dreiecken für den Mantel bestehen, an das Grund- und Deckfläche angefügt werden. Es gibt auch andere Möglichkeiten, das Netz zu bilden.

Vorkommen und Anwendungen

Antiprismen kommen als Koordinationspolyeder in Kristallstrukturen und Komplexverbindungen, als Kapside von Viren und in Walzenwürfeln vor. Stab- oder Rohrgerüste entlang ihrer Kanten sind um die Hauptachse deutlich torsionssteifer und knickfester als entsprechende Prismen. Daher werden sie gern als Podeste im Zirkus eingesetzt.

Auch in der Architektur wird die Form verwendet. Das One World Trade Center in New York City hat hauptsächlich die Form eines langgezogenen quadratischen Antiprismas, wobei das obere Quadrat kleiner als das untere ist. Der Diagonal Tower in Seoul besteht aus drei übereinandergestellten quadratischen Antiprismen; sein Design soll Windkräfte verringern und Material sparen.