Algebraische Periode

Begriff und Bedeutung

Algebraische Perioden sind eine Klasse komplexer Zahlen aus der Mathematik, besonders aus der algebraischen Geometrie. Eine solche Zahl lässt sich als Integral einer algebraischen Funktion über einen algebraisch beschriebenen Bereich darstellen. Zu den Perioden gehören die algebraischen Zahlen sowie bekannte Konstanten wie die Kreiszahl π.

Sie sind bedeutsam, weil sie zwischen algebraischen und transzendenten Zahlen vermitteln sollen. Algebraische Zahlen bilden zwar eine gut beschreibbare Klasse, enthalten aber viele wichtige Konstanten nicht. Transzendente Zahlen sind dagegen überabzählbar, im Allgemeinen nicht berechenbar und schwer zu beschreiben. Algebraische Perioden erfassen einen Teil der transzendenten Zahlen, die algorithmisch beschreibbar sind und nur endlich viele Informationen enthalten.

Perioden spielen eine Rolle in der Theorie der Differentialgleichungen, der transzendenten Zahlen und in offenen Fragen der modernen arithmetischen algebraischen Geometrie. Sie gehören außerdem zu den Integralen, die im Zusammenhang mit Feynman-Diagrammen auftreten.

Definition durch Integrale

Eine Zahl α heißt Periode, wenn sie in der Form

α = ∫_{P(x₁,…,xₙ) ≥ 0} Q(x₁,…,xₙ) dx₁…dxₙ

geschrieben werden kann. Dabei ist P ein Polynom, das den Integrationsbereich durch die Bedingung P(x₁,…,xₙ) ≥ 0 festlegt. Q ist eine rationale Funktion, also ein Quotient von Polynomen, mit rationalen Koeffizienten.

Eine komplexe Zahl ist eine Periode, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil Perioden sind. Gleichwertig ist eine Definition, in der P und Q algebraische Funktionen sein dürfen. Algebraische Funktionen erfüllen jeweils eine Polynomgleichung.

Struktur und Abgrenzung

Die Menge aller algebraischen Perioden wird mit ℘ bezeichnet und bildet einen Ring. Das bedeutet insbesondere: Sind zwei Zahlen Perioden, dann sind auch ihre Summe und ihr Produkt Perioden.

Der Ring ist abzählbar; seine Elemente können also prinzipiell aufgelistet werden. Zugleich sind alle algebraischen Perioden berechenbar und definierbar. Für die Mengen gilt

𝔸 ⊂ ℘ ⊂ ℂ,

wobei 𝔸 die algebraischen Zahlen und ℂ die komplexen Zahlen bezeichnet. Die Einschlusszeichen zeigen, dass jede algebraische Zahl eine Periode ist und dass jede Periode eine komplexe Zahl ist.

Typische Beispiele

Algebraische Zahlen α sind Perioden, denn α = ∫₀^α dx. Für eine positive algebraische Zahl α > 0 ist auch ihr natürlicher Logarithmus eine Periode:

ln(α) = ∫₁^α 1/x dx.

Ebenso sind Arkusfunktionen algebraischer Zahlen in ihrer Definitionsmenge Perioden, zum Beispiel

arctan(α) = ∫₀^α 1/(1+x²) dx.

Ein besonders wichtiges Beispiel ist π:

π = ∫₀¹ 4/(x² + 1) dx.

Weitere Beispiele sind die Apéry-Konstante ζ(3), die Catalansche Konstante G, die Gieseking-Konstante Cl₂(⅓π) und die lemniskatische Konstante ϖ. Auch elliptische Integrale mit algebraischen Grenzen sind Perioden. Dazu zählt der Umfang U einer Ellipse mit algebraischen Halbachsen a und b:

U = ∫_{-b}^b √(1 + a²x²/(b⁴ − b²x²)) dx.

Da Perioden unter Addition und Multiplikation abgeschlossen sind, gehören auch ihre Summen und Produkte dazu.

Offene Fragen und Erweiterung

Ein ungelöstes Problem ist, ob ein Algorithmus entscheiden kann, ob zwei beliebige Perioden gleich sind. Maxim Konzewitsch und Don Zagier vermuten, dass diese Gleichheitsfrage stets entscheidbar ist.

Außerdem ist bei manchen bekannten Konstanten offen, ob sie algebraische Perioden sind. Dies gilt für 1/π, die Eulersche Zahl e und die Euler–Mascheroni-Konstante γ. Dagegen ist die Chaitinsche Konstante Ω ein Beispiel für eine reelle Zahl, die keine Periode ist.

Eine Erweiterung entsteht, wenn der Integrand Q das Produkt einer algebraischen Funktion und einer Exponentialfunktion ist, deren Argument eine algebraische Funktion ist. Dadurch erhält man den Ring der exponentiellen Perioden ℰ℘. Auch dieser Ring ist abzählbar, und es gilt

𝔸 ⊂ ℘ ⊂ ℰ℘ ⊂ ℂ.

Die Eulersche Zahl e und die Euler–Mascheroni-Konstante γ sind exponentielle Perioden, auch wenn nicht bekannt ist, ob sie bereits algebraische Perioden sind.